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La base de datos contiene 2791 problemas y 1137 soluciones.
Problema 2645
ASU, 1991-P16
- Sean $r_1, r_2, \dots, r_{100}, c_1, c_2, \dots, c_{100}$ números reales distintos. Se escribe $r_i + c_j$ en la posición $(i,j)$ de una matriz $100 \times 100$. Si el producto de los números en cada columna es $1$, demostrar que el producto de los números en cada fila es $-1$.
- Sean $r_1, r_2, \dots, r_{2n}, c_1, c_2, \dots, c_{2n}$ números reales distintos. Se escribe $r_i + c_j$ en la posición $(i,j)$ de una matriz $2n \times 2n$. Si el producto de los números en cada columna es el mismo, demostrar que el producto de los números en cada fila también es el mismo.
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Problema 2604
ASU, 1989-P23
Sea $\mathbb{N}$ el conjunto de los enteros positivos. ¿Existe una función $f:\mathbb{N} \to \mathbb{N}$ tal que
\[f(n+1) = f(f(n)) + f(f(n+2))\]
para cualquier $n\in\mathbb{N}$.
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Problema 2598
ASU, 1989-P17
Encontrar el menor entero positivo $n$ para el cual existe un entero $m$ tal que
$$\left\lfloor \frac{10^n}{m} \right\rfloor = 1989.$$
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Problema 2594
ASU, 1989-P13
- ¿Existen dos números reales cuya suma sea racional, pero la suma de sus potencias $n$-ésimas sea irracional para todo $n\gt 1$?
- ¿Existen dos números reales cuya suma sea irracional, pero la suma de sus potencias $n$-ésimas sea racional para todo $n\gt 1$?
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Problema 2579
ASU, 1988-P22
Hallar el menor $n$ para el cual existe una solución al sistema
\[
\left\{\begin{array}{r}\sin x_1 + \sin x_2 + \dots + \sin x_n = 0,\\
\sin x_1 + 2 \sin x_2 + \dots + n \sin x_n = 100.\end{array}\right.
\]
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