Olimpiadas de Matemáticas
Página de preparación y problemas

Demostrar que existen infinitos enteros positivos $n$ tales que \[\lfloor a^{3/2}\rfloor+\lfloor b^{3/2}\rfloor=n\] tiene al menos $1980$ soluciones enteras distintas.

Dado un entero $m$, consideremos una sucesión $\{a_n\}$ de enteros positivos tales que $a_{n+1}$ es la suma de $a_n$ con el producto de sus dígitos y $a_1=m$. Determinar si existe $m$ tal que $\{a_n\}$ no esté acotada.

Consideremos $1980$ vectores en el plano tales que la suma de $1979$ cualesquiera de ellos es proporcional al vector restante y no todos los vectores son proporcionales entre sí. Demostrar que la suma de todos los vectores es cero.

Encontrar todas las soluciones reales del sistema \[\left\{\begin{array}{l} \mathrm{sen}(x)+2\mathrm{sen}(x+y+z)=0,\\ \mathrm{sen}(x)+3\mathrm{sen}(x+y+z)=0,\\ \mathrm{sen}(x)+4\mathrm{sen}(x+y+z)=0.\end{array}\right.\]

Se divide un cuadrado en $n$ bandas paralelas al lado inferior del cuadrado y todas ellas de anchura un número entero. La suma de las anchuras de las bandas que tienen anchura impar es igual a la suma de las anchuras de las bandas que tienen anchura par. Se traza una de las diagonales del cuadrado, la cual divide a cada banda en dos partes: izquierda y derecha. Demostrar que la suma de las áreas de las partes izquierdas de las bandas que tienen anchura impar es igual a la suma de las áreas de las partes derechas de las bandas que tienen anchura par.