Olimpiadas de Matemáticas
Página de preparación y problemas

Solución. La ecuación se reescribe como \[2^{2x-1}-5x-3=2^{2x-1}+2^{x-1}-2^x-1,\] luego podemos simplificar para obtener \[2^{x-1}-2^x+5x+2=0\ \Leftrightarrow\ 2^{x-1}=5x+2.\] Para $x=1,2,3,4,5$, el miembro de la derecha es igual a $7,12,17,22,27$, que no son potencias de $2$, si bien para $x=6$ tenemos una solución ya que ambos miembros son iguales a $32$. Para $x\geq 7$, probaremos por inducción que $2^{x-1}\gt 5x+2$. El caso base es $x=7$ y tenemos que $2^{x-1}=64$ mientras que $5x+2=37$. Supuesto que la desigualdad $2^{x-1}\gt 5x+2$ es cierta para algún $x\geq 7$, queremos probar la desigualdad para $x+1$. Se tiene que \[2^x=2\cdot 2^{x-1}\stackrel{(\star)}{\gt}2\cdot(5x+2)=10x+4\gt 5x+5x+4\gt 5x+7,\] donde en $(\star)$ hemos usado la hipótesis de inducción.

Esto nos da la única solución $x=6$, que nos lleva a que \[n=2^{2\cdot 6-1}-5\cdot 6-3=2015.\]

Solución. Cambiando $n$ por $n+1$ obtenemos la igualdad $f(n+1)+f(n+2)=2n+3$. Si a esta le restamos la ecuación del enunciado, obtenemos que $f(n+2)=f(n)+2$ para todo entero $n$. De aquí se deduce fácilmente por inducción sobre $k$ que \[f(2k)=2k+f(0),\qquad f(2k+1)=2k+f(1).\] Por tanto, $a=f(0)$ y $b=f(1)$ determinan completamente a la función y verifican $a+b=1$ (haciendo $n=0$ en la ecuación funcional original). Si imponemos la otra condición del enunciado, tenemos que \begin{align*} 2015&=f(1)+f(2)+\ldots+f(63)\\ &=31a+2+4+\ldots+62+32b+2+4+\ldots+62\\ &=31a+32b+2(1+2+\ldots+31)=31a+32b+31\cdot 32=31a+32b+992. \end{align*} Por tanto, tenemos el sistema de ecuaciones \[\left\{\begin{array}{l}a+b=1\\31a+32b=1023\end{array}\right.\] que se resuelve fácilmente dando la solución única $a=-991$ y $b=992$. Deducimos así que solo existe una función cumpliendo las condiciones dadas y está definida por \[f(n)=\begin{cases}n-991&\text{si }n\text{ par},\\n+991&\text{si }n\text{ impar}.\end{cases}\]

Solución. La primera ecuación se puede escribir como $2x\sqrt{x+1}=1+y+y^2$ y, elevando al cuadrado, obtenemos $4x^2(x+1)=(1+y+y^2)^2$. Por lo tanto, \[(x^2+x+1)^2=(x^2-x-1)^2+4x^2(x+1)=(x^2-x-1)^2+(y^2+y+1)^2,\] por lo que se cumple la desigualdad \[(x^2+x+1)^2\geq (y^2+y+1)^2\] y la igualdad se da si y sólo si $x^2-x-1=0$. Razonando de forma similar con las otras ecuaciones, llegamos a que \[(x^2+x+1)^2\geq (y^2+y+1)^2\geq (z^2+z+1)^2\geq (x^2+x+1)^2,\] por lo que se ha de cumplir necesariamente la igualdad en todas las desigualdades y deducimos que $x=y=z=\frac{1+\sqrt{5}}{2}$, que es el único número positivo que cumple $x^2-x-1=0$.

Solución. Despejando $2y=z-x$ en la primera ecuación y sustituyendo en la segunda, tenemos que \[310=x^2-(2y)^2+z^2=x^2-(z-x)^2+z^2=2xz,\] luego $xz=155$. Podemos factorizar $155=5\cdot 31$, lo que nos da muy pocas opciones para el par $(x,z)$. Además, tenemos que $2y=z-x$, luego tiene que ser $z\gt x$ ya que $y$ debe ser un entero positivo:

• Si $(x,z)=(1,155)$, entonces $y=77$ y $xyz=11935$.
• Si $(x,z)=(5,31)$, entonces $y=13$ y $xyz=2015$ (¡el año!).

Se comprueba fácilmente que las anteriores son soluciones, luego los posibles valores de $xyz$ son $2015$ y $11935$.