Olimpiadas de Matemáticas
Página de preparación y problemas

Solución. Cambiando $n$ por $n+1$ obtenemos la igualdad $f(n+1)+f(n+2)=2n+3$. Si a esta le restamos la ecuación del enunciado, obtenemos que $f(n+2)=f(n)+2$ para todo entero $n$. De aquí se deduce fácilmente por inducción sobre $k$ que \[f(2k)=2k+f(0),\qquad f(2k+1)=2k+f(1).\] Por tanto, $a=f(0)$ y $b=f(1)$ determinan completamente a la función y verifican $a+b=1$ (haciendo $n=0$ en la ecuación funcional original). Si imponemos la otra condición del enunciado, tenemos que \begin{align*} 2015&=f(1)+f(2)+\ldots+f(63)\\ &=31a+2+4+\ldots+62+32b+2+4+\ldots+62\\ &=31a+32b+2(1+2+\ldots+31)=31a+32b+31\cdot 32=31a+32b+992. \end{align*} Por tanto, tenemos el sistema de ecuaciones \[\left\{\begin{array}{l}a+b=1\\31a+32b=1023\end{array}\right.\] que se resuelve fácilmente dando la solución única $a=-991$ y $b=992$. Deducimos así que solo existe una función cumpliendo las condiciones dadas y está definida por \[f(n)=\begin{cases}n-991&\text{si }n\text{ par},\\n+991&\text{si }n\text{ impar}.\end{cases}\]

Solución. La primera ecuación se puede escribir como $2x\sqrt{x+1}=1+y+y^2$ y, elevando al cuadrado, obtenemos $4x^2(x+1)=(1+y+y^2)^2$. Por lo tanto, \[(x^2+x+1)^2=(x^2-x-1)^2+4x^2(x+1)=(x^2-x-1)^2+(y^2+y+1)^2,\] por lo que se cumple la desigualdad \[(x^2+x+1)^2\geq (y^2+y+1)^2\] y la igualdad se da si y sólo si $x^2-x-1=0$. Razonando de forma similar con las otras ecuaciones, llegamos a que \[(x^2+x+1)^2\geq (y^2+y+1)^2\geq (z^2+z+1)^2\geq (x^2+x+1)^2,\] por lo que se ha de cumplir necesariamente la igualdad en todas las desigualdades y deducimos que $x=y=z=\frac{1+\sqrt{5}}{2}$, que es el único número positivo que cumple $x^2-x-1=0$.

Solución. Despejando $2y=z-x$ en la primera ecuación y sustituyendo en la segunda, tenemos que \[310=x^2-(2y)^2+z^2=x^2-(z-x)^2+z^2=2xz,\] luego $xz=155$. Podemos factorizar $155=5\cdot 31$, lo que nos da muy pocas opciones para el par $(x,z)$. Además, tenemos que $2y=z-x$, luego tiene que ser $z\gt x$ ya que $y$ debe ser un entero positivo:

• Si $(x,z)=(1,155)$, entonces $y=77$ y $xyz=11935$.
• Si $(x,z)=(5,31)$, entonces $y=13$ y $xyz=2015$ (¡el año!).

Se comprueba fácilmente que las anteriores son soluciones, luego los posibles valores de $xyz$ son $2015$ y $11935$.

Solución. Podemos considerar el problema de cuándo se cortan las gráficas de las funciones $y=\sqrt{2-x^2}$ e $y=\sqrt[3]{3-x^3}$ y esto a su vez nos lleva a considerar el sistema de ecuaciones \[\left\{\begin{array}{l}x^2+y^2=2,\\x^3+y^3=3.\end{array}\right.\] Veremos que el sistema no tiene solución y, por tanto, la ecuación del enunciado tampoco. Por reducción al absurdo, imaginemos que $(x,y)$ es una solución y distinguimos dos casos según el signo de $x$:

• Si $x\leq 0$, por un lado tenemos que $y^3=3-x^3\geq 3$, luego $y\geq\sqrt[3]{3}$ y, por otro lado, $y^2=2-x^2\leq 2$ implica que $y\leq\sqrt{2}$, luego se cumpliría que $\sqrt[3]{3}\leq y\leq\sqrt{2}$. Esto es una contradicción ya que la realidad es que $\sqrt{2}\lt\sqrt[3]{3}$ (¿sabrías demostrarlo sin usar calculadora?).
• Si $x\geq 0$, entonces $x\leq\sqrt{2}$, luego $y^3=3-x^3\geq 3-2\sqrt{2}\geq 0$, es decir, $y$ tampoco es negativo. Desarrollamos \begin{align*} (x^2+y^2)^3-(x^3+y^3)^2&=x^6+3x^4y^2+3x^2y^4+y^6-x^6-2x^3y^3-y^6\\ &=x^2y^2(3x^2-2xy+3y^2)=x^2y^2(2x^2+(x-y)^2+2y^2)\geq 0. \end{align*} Como $x$ e $y$ no son negativos, deducimos que $(x^2+y^2)^{1/2}\geq (x^3+y^3)^{1/3}$ (ver la nota), lo que nos da $\sqrt{2}\geq\sqrt[3]{3}$, pero esto ya hemos dicho que es absurdo.

Recordemos que hemos probado así que la ecuación no tiene solución.

Nota. La desigualdad $(x^2+y^2)^3-(x^3+y^3)^2\geq 0$ es, en realidad, parte de la desigualdad entre normas $\ell^p$, que nos dice que, si $1\leq p\lt q$ y $x_1,x_2\ldots,x_n$ son números reales, entonces \[(|x_1|^q+|x_2|^q+\ldots+|x_n|^q)^{1/q}\leq (|x_1|^p+|x_2|^p+\ldots+|x_n|^p)^{1/p}.\] Aquí hemos dado una demostración ad hoc para $n=2$, $p=2$ y $q=3$.