Olimpiadas de Matemáticas
Página de preparación y problemas

Solución. Observamos que tiene que ser $x\gt 0$ ya que el miembro de la izquierda no puede ser negativo, luego $x\geq 1$ para que la segunda raíz esté definida. Dividiendo entre $x$ ambos miembros y escribiendo $t=\frac{1}{x^2}$, la ecuación se reescribe como \[\sqrt{1-pt}+2\sqrt{1-t}=1.\] Si llamamos $y=\sqrt{1-pt}$ y $z=\sqrt{1-t}$, podemos reescribirlo de nuevo como el sistema \[\left\{\begin{array}{l}y+2z=1\\y^2-pz^2=1-p\end{array}.\right.\] Despejamos $y=1-2z$ en la primera ecuación y sustituimos en la segunda, lo que nos da una ecuación de segundo grado en $z$: \[(1-2z)^2-pz^2=1-p\ \Longleftrightarrow\ 4z^2-(p+4)z+p=0.\] Esta ecuación tiene soluciones $z=1$ y $z=\frac{p}{4-p}$. La primera hay que descartarla ya que nos lleva a que $\frac{1}{x^2}=t=0$, que no tiene soluciones. Para $z=\frac{p}{4-p}$, podemos despejar \[\frac{1}{x^2}=t=1-z^2=1-\frac{p^2}{(4-p)^2}=\frac{8(2-p)}{(4-p)^2}.\] Por tanto, tiene que ser $p\leq 2$, lo que nos da la única candidata a solución: \[x=\frac{4-p}{2\sqrt{2}\sqrt{2-p}}.\] Comprobamos ahora si cumple la condición: \[\sqrt{x^2-p}+2\sqrt{x^2-1}=\sqrt{\frac{(4-3p)^2}{8(2-p)}}+2\sqrt{\frac{p^2}{8(2-p)}}=\frac{|4-3p|+2|p|}{2\sqrt{2}\sqrt{2-p}}.\] La única forma de que el numerador anterior sea igual a $4-p$ (para que el resultado de la operación sea $x$), es que $4-3p\geq 0$ y $p\geq 0$, lo que nos dice que la ecuación tiene solución si y sólo si $0\leq p\leq \frac{4}{3}$, en cuyo caso la solución es única.

Nota. Otra forma de ver la existencia y unicidad de solución (aunque no de calcularla) es usar el teorema de Bolzano. La función $f(t)=\sqrt{1-pt}+2\sqrt{1-t}-1$ es continua y estrictamente decreciente. Nos interesa su valor en $[0,\min\{1,\frac{1}{p}\}]$. Tenemos que $f(0)=2\gt 0$. Si $p\geq 1$, entonces evaluamos $f(\frac{1}{p})=2\sqrt{1-\frac{1}{p}}-1$, que es negativo si y sólo si $p\leq\frac{4}{3}$. Si $p\leq 1$, entonces $f(1)=\sqrt{1-p}-1$ es negativo siempre que $p\gt 0$. En resumen, tenemos que $0\leq p\leq \frac{4}{3}$ y que la solución es única.

Solución. El problema está mal planteado pues no se puede conseguir en general una ecuación con exactamente las mismas raíces. Por ejemplo, la ecuación cuadrática $\cos^2(x)-\cos(x)=0$ se obtiene para $(a,b,c)=(1,-1,0)$ y tiene exactamente tres raíces ($x=0$, $x=\frac{\pi}{2}$ y $x=\frac{3\pi}{2}$) módulo $2\pi$. En cambio, cualquier ecuación cuadrática en $\cos(2x)$ tiene un número par de raíces módulo $2\pi$ ya que si $x$ es solución, entonces $x+\pi$ también lo es. Por lo tanto, vamos a reformular el problema buscando una ecuación cuadrática que contenga a las soluciones de la original, aunque pueda tener más soluciones (es muy probable que esta fuera la idea original), Por comodidad, vamos a llamar $y=\cos(x)$ y $z=\cos(2x)$. De la igualdad fundamental $\cos^2(x)+\operatorname{sen}^2(x)=1$ y de la fórmula para el ángulo doble $\cos(2x)=\cos^2(x)-\operatorname{sen}^2(x)$ podemos despejar $\cos(2x)=2\cos^2(x)-1$ o bien $y^2=\frac{1}{2}(z+1)$. Por lo tanto, tendremos que escribir una ecuación en términos de $y^2$.

Elevando al cuadrado la ecuación original $ay^2+by+c=0$, obtenemos \begin{align*} 0=(ay^2+by+c)^2&=a^2y^4+(b^2+2ac)y^2+c^2+2by(ay^2+c)\\ &=a^2y^4+(-b^2+2ac)y^2+c^2+2by(ay^2+by+c) \end{align*} De aquí deducimos que, si $y$ es solución de la ecuación original, entonces \[0=(ay^2+by+c)(ay^2-by+c)=a^2y^4+(-b^2+2ac)y^2+c^2.\] Por lo tanto, la ecuación que buscamos es \[\tfrac{1}{4}a^2(z+1)^2+\tfrac{1}{2}(-b^2+2ac)(z+1)+c^2=0.\] Para $(a,b,c)=(4,2,-1)$, obtenemos \[0=4(z+1)^2-6(z+1)+1=4z^2+2z-1,\] es decir, obtenemos los mismos coeficientes originales.