Olimpiadas de Matemáticas
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Solución. Esta es una sucesión recurrente muy sencilla puesto que $a_{r+2}-3a_{r+1}+2a_r=0$ nos da el polinomio característico $p(x)=x^2-3x+2=(x-2)(x-1)$. Como tiene raíces distintas, podemos escribir el término general de la sucesión como combinación de las potencias de dichas raíces, es decir, se cumple que $a_r=\alpha\cdot 2^r+\beta\cdot 1^r$ para ciertos $\alpha,\beta\in\mathbb{R}$. En $r=0$ tenemos que $\alpha+\beta=a_0$ y en $r=1$ tenemos que $2\alpha+\beta=a_1$, de donde podemos despejar $\alpha$ y $\beta$ para obtener la expresión \[a_r=(a_1-a_0)2^r+(2a_0-a_1)=(a_1-a_0)(2^r-2)+a_1,\qquad\text{para todo }r\geq 0.\] Como $a_0$ y $a_1$ son enteros y $a_1\gt a_0$ por hipótesis, se cumple necesariamente que $a_1-a_0\geq 1$. También tenemos que $a_1\geq 1$ por hipótesis, lo que nos da $a_r\geq 2^r-1$. Ahora sólo hay que observar que $2^{100}-1\gt 2^{100}-2^{99}=2^{99}$, luego se tiene que $a_{100}\gt 2^{99}$.

Nota. De hecho, lo anterior prueba que el menor valor posible de $a_{100}$ bajo las condiciones del enunciado es $2^{100}-1$ y se obtiene únicamente para $a_1=1$ y $a_0=0$.