Olimpiadas de Matemáticas
Página de preparación y problemas

Encontrar todas las soluciones reales del sistema \[\left\{\begin{array}{l} \mathrm{sen}(x)+2\mathrm{sen}(x+y+z)=0,\\ \mathrm{sen}(x)+3\mathrm{sen}(x+y+z)=0,\\ \mathrm{sen}(x)+4\mathrm{sen}(x+y+z)=0.\end{array}\right.\]

Se divide un cuadrado en $n$ bandas paralelas al lado inferior del cuadrado y todas ellas de anchura un número entero. La suma de las anchuras de las bandas que tienen anchura impar es igual a la suma de las anchuras de las bandas que tienen anchura par. Se traza una de las diagonales del cuadrado, la cual divide a cada banda en dos partes: izquierda y derecha. Demostrar que la suma de las áreas de las partes izquierdas de las bandas que tienen anchura impar es igual a la suma de las áreas de las partes derechas de las bandas que tienen anchura par.

Sean $a$ y $b$ números reales. Encontrar todos los números reales $x$ e $y$ que verifican el siguiente sistema de ecuaciones: \[\left\{\begin{array}{l} x-y\sqrt{x^2-y^2}=a\sqrt{1-x^2+y^2}\\ y-x\sqrt{x^2-y^2}=b\sqrt{1-x^2+y^2} \end{array}\right.\]

Sea $X$ un conjunto finito de puntos del plano y elijamos un conjunto $S$ de vectores con origen y extremo en puntos de $X$. Si para todo punto $A\in X$ hay tantos vectores en $S$ con origen en $A$ como vectores con extremo en $A$, demostrar que la suma de todos los vectores de $S$ es cero.

En la pizarra están escritos los números $0$ y $1$. Podemos escribir en la pizarra la media aritmética de otros números que ya estén escritos en la pizarra, siempre que dicha media no esté ya escrita.

1. Demostrar que puede llegar escribirse el número $\frac{1}{5}$
2. Demostrar que puede llegar a escribirse cualquier número racional entre $0$ y $1$.