Olimpiadas de Matemáticas
Página de preparación y problemas

Hallar el menor $n$ para el cual existe una solución al sistema \[ \left\{\begin{array}{r}\sin x_1 + \sin x_2 + \dots + \sin x_n = 0,\\ \sin x_1 + 2 \sin x_2 + \dots + n \sin x_n = 100.\end{array}\right. \]

La gráfica de la función $y=f(x)$ permanece invariante si se rota un ángulo recto respecto del origen. Demostrar que $f(x)=x$ tiene una única solución y dar un ejemplo de dicha función.

Para cada entero positivo $n$, demostrar que existe un número real $x$ tal que \[\cos(x),\cos(2x),\ldots,\cos(2^n x)\] son todos números negativos

Una recta del plano se llama soleada si no es paralela ni al eje $x$, ni al eje $y$ ni a la recta $x+y=0$. Sea $n\geq 3$ un entero dado. Determinar todos los enteros no negativos $k$ para los que existen $n$ rectas distintas del plano que satisfacen simultáneamente las dos condiciones siguientes:

• Para cualesquiera enteros positovs $a$ y $b$ con $a+b\leq n+1$, el punto $(a,b)$ está en al menos una de estas rectas; y
• exactamente $k$ de estas $n$ rectas son soleadas.

Sea $x$ un número real y definimos la sucesión \[x_0=1+\sqrt{1+x},\qquad x_n=2+\frac{x}{x_{n-1}}\text{ para todo }n\geq 1.\] Hallar todos los valores de $x$ para los que $x_{1985}=x$.