Olimpiadas de Matemáticas
Página de preparación y problemas

Para cada entero positivo $n$, demostrar que existe un número real $x$ tal que \[\cos(x),\cos(2x),\ldots,\cos(2^n x)\] son todos números negativos

Una recta del plano se llama soleada si no es paralela ni al eje $x$, ni al eje $y$ ni a la recta $x+y=0$. Sea $n\geq 3$ un entero dado. Determinar todos los enteros no negativos $k$ para los que existen $n$ rectas distintas del plano que satisfacen simultáneamente las dos condiciones siguientes:

• Para cualesquiera enteros positovs $a$ y $b$ con $a+b\leq n+1$, el punto $(a,b)$ está en al menos una de estas rectas; y
• exactamente $k$ de estas $n$ rectas son soleadas.

Sea $x$ un número real y definimos la sucesión \[x_0=1+\sqrt{1+x},\qquad x_n=2+\frac{x}{x_{n-1}}\text{ para todo }n\geq 1.\] Hallar todos los valores de $x$ para los que $x_{1985}=x$.

Los números $1,2,\ldots,2n$ se separan en dos sucesiones disjuntas $a_1\lt a_2\lt\ldots\lt a_n$ y $b_1\gt b_2\gt\ldots\gt b_n$. Demostrar que \[|a_1-b_1|+|a_2-b_2|+\ldots+|a_n-b_n|=n^2.\]

La sucesión infinita$\{a_1,a_2,a_3,\ldots\}$ cumple que $a_{4n+1}=1$, $a_{4n+3}=0$ y $a_{2n}=a_n$. Demostrar que esta sucesión no es periódica.