Olimpiadas de Matemáticas
Página de preparación y problemas

Sean $a$ y $b$ números reales. Encontrar todos los números reales $x$ e $y$ que verifican el siguiente sistema de ecuaciones: \[\left\{\begin{array}{l} x-y\sqrt{x^2-y^2}=a\sqrt{1-x^2+y^2}\\ y-x\sqrt{x^2-y^2}=b\sqrt{1-x^2+y^2} \end{array}\right.\]

Sea $X$ un conjunto finito de puntos del plano y elijamos un conjunto $S$ de vectores con origen y extremo en puntos de $X$. Si para todo punto $A\in X$ hay tantos vectores en $S$ con origen en $A$ como vectores con extremo en $A$, demostrar que la suma de todos los vectores de $S$ es cero.

En la pizarra están escritos los números $0$ y $1$. Podemos escribir en la pizarra la media aritmética de otros números que ya estén escritos en la pizarra, siempre que dicha media no esté ya escrita.

1. Demostrar que puede llegar escribirse el número $\frac{1}{5}$
2. Demostrar que puede llegar a escribirse cualquier número racional entre $0$ y $1$.

Un saltamontes va saltando por puntos del primer cuadrante del plano. Desde un punto $(x,y)$ puede elegir saltar al punto $(x+1,y-1)$ o al punto $(x-5,y+7)$, pero no puede abandonar el primer cuadrante. Determinar el conjunto de puntos $(x,y)$ desde los cuales nunca puede alcanzar una distancia mayor que $1000$ al origen.

Consideremos números enteros $a_n,b_n,c_n,d_n$ tales que \[(1+\sqrt{2}+\sqrt{3})^n=a_n+b_n\sqrt{2}+c_n\sqrt{3}+d_n\sqrt{6}.\] Hallar los límites, cuando $n$ tiende a infinito, de $\frac{b_n}{a_n}$, $\frac{c_n}{a_n}$ y $\frac{d_n}{a_n}$.