Olimpiadas de Matemáticas
Página de preparación y problemas

Consideremos todas las funciones $f:[0,1]\to\mathbb{R}$ que verifican:

• $f(x)\geq 0$ para todo $x\in[0,1]$,
• $f(1)=1$,
• $f(x)+f(y)\leq f(x+y)$ siempre que $x,y,x+y\in[0,1]$.

Hallar justificadamente la menor constante $c$ tal que $f(x)\leq cx$ para toda función $f$ verificando las condiciones anteriores y para todo $x\in[0,1]$.

Demostrar que \[\frac{1}{\cos 0^\circ\cos 1^\circ}+\frac{1}{\cos 1^\circ\cos 2^\circ}+\ldots+\frac{1}{\cos 88^\circ\cos 89^\circ}=\frac{\cos 1\circ}{\mathrm{sen}^2\,1^\circ}.\]

Consideremos una sucesión de funciones $\{f_n(x)\}$ que se define recursivamente como \begin{align*} f_1(x)&=\sqrt{x^2+48},\\ f_{n+1}(x)&=\sqrt{x^2+6f_n(x)},\quad \text{para todo }n\geq 1. \end{align*} Para cada entero positivo $n$, encontrar todas las soluciones reales de la ecuación $f_n(x)=2x$.

Sean $u$ y $v$ números reales tales que \[u+u^2+u^3\ldots+u^8+10u^9=v+v^2+v^3+\ldots+v^{10}+10v^{11}=8.\] Determinar justificadamente cuál de los dos números $u$ y $v$ es mayor.

Para cada enteros positivo $n$, definimos \begin{align*} S_n&=1+\tfrac{1}{2}+\tfrac{1}{3}+\ldots+\tfrac{1}{n},\\ T_n&=S_1+S_2+S_3+\ldots+S_n,\\ U_n&=\tfrac{T_1}{2}+\tfrac{T_2}{3}+\tfrac{T_3}{4}+\ldots+\tfrac{T_n}{n+1}. \end{align*} Encontrar justificadamente enteros $0\lt a,b,c,d\lt 1000000$ tales que \[T_{1998}=a\cdot S_{1989}-b\quad\text{y}\quad U_{1988}=c\cdot S_{1989}-d.\]