Olimpiadas de Matemáticas
Página de preparación y problemas

Solución. Todo número natural $n$ se puede expresar de forma única como suma de potencias distintas de $2$, es decir, existen enteros $0\leq a_1\lt a_2\lt\ldots\lt a_r$ únicos tales que \[n=2^{a_1}+2^{a_2}+\ldots+2^{a_r}\] (esto no es más que la representación de $n$ en base $2$). Es inmediato ver, por inducción sobre $r$, que $f(n)=r$. En efecto, si $r=1$, tenemos que $n=2^{a_1}$ y $f(n)=f(2^{a_1})=1$ por la primera propiedad del enunciado (notemos que $2^{a_1}=1$ si $a_1=0$). Supuesto cierto para $r-1$ sumandos, para $r$ sumandos tenemos que \[f(2^{a_1}+2^{a_2}+\ldots+2^{a_r})=f(2^{a_1}+2^{a_2}+\ldots+2^{a_{r-1}})+1=(r-1)+1=r,\] puesto que \[2^{a_1}+2^{a_2}+\ldots+2^{a_{r-1}}\leq 1+2+2^2+\ldots+2^{a_r-1}=2^{a_r}-1\lt 2^{a_r}\] y puede aplicarse la segunda propiedad del enunciado.

En definitiva, hemos probado que $f(n)$ es la suma de los dígitos de $n$ en base $2$. Dado $k\in\mathbb{N}$, está claro entonces que el menor número con $f(n)=k$ es $n=2^k-1$ (que tiene $k$ dígitos en base $2$, todos ellos iguales a $1$). Como $2^{10}\lt 2001\lt 2^{11}-1$, deducimos que el máximo de $f(n)$ cuando $n\leq 2001$ es $10$. También deducimos que el menor natural $n$ tal que $f(n)=2001$ es $2^{2001}-1$.

Solución. Consideremos $f(f(f(n)))$, que puede calcularse de dos formas distintas usando la ecuación funcional del enunciado: \begin{align*} f[f(f(n))]&=f(n+1),& f(f[f(n)])&=f(n)+1. \end{align*} Por lo tanto, se tiene que $f(n+1)=f(n)+1$ para todo $n\in\mathbb{N}$. Esto nos lleva a que tiene que existir $a\in\mathbb{N}\cup\{0\}$ tal que $f(n)=n+a$ para todo $n\in\mathbb{N}$ (de hecho, tiene que ser $a=f(1)-1$). Si sustituimos esta función en la ecuación original, se tiene que $f(f(n))=f(n)+a=n+2a$, que tiene que ser igual a $n+1$ para todo $n\in\mathbb{N}$. Por lo tanto, tiene que ser $2a=2f(1)-2=1$, luego $f(1)=\frac{3}{2}$, contradiciendo que $f$ toma únicamente valores enteros.

Solución. Al ser las tangentes enteros positivos, deducimos que los tres ángulos del triángulo son agudos de al menos $45^\circ$. Ahora bien, no puede ser todas las tangentes mayores o iguales que $2$ ya que entonces la suma de los ángulos del triángulo sería mayor o igual que $3\arctan(2)\gt 3\arctan(\sqrt{3})=180^\circ$, donde hemos usado que el arcotangente es una función creciente. Deducimos que uno de los tres ángulos tiene que tener tangente igual a $1$ y, por tanto, ser igual a $45^\circ$. Si llamamos $\alpha$ y $\beta$ a los otros dos ángulos, tendremos que $\alpha+\beta=135^\circ$, luego \[-1=\tan(135^\circ)=\tan(\alpha+\beta)=\frac{\tan(\alpha)+\tan(\beta)}{1-\tan(\alpha)\tan(\beta)},\] igualdad que se puede reescribir como \[\tan(\alpha)\tan(\beta)-\tan(\alpha)-\tan(\beta)=1\] o bien \[(\tan(\alpha)-1)(\tan(\beta)-1)=2.\] La única posibilidad siendo las tangentes enteros positivos es que uno de los factores sea igual a $1$ y el otro igual a $2$, luego podemos suponer que $\tan(\alpha)=2$ y $\tan(\beta)=3$. Tenemos así que las tangentes de los tres ángulos son los números $1$, $2$ y $3$.

Nota. Observemos que el propio cálculo anterior nos dice que $\tan(\alpha+\beta)=-1$, luego $\alpha=\arctan(2)$ y $\beta=\arctan(3)$ suman $135^\circ$. Esto nos lleva directamente a la famosa identidad \[\arctan(1)+\arctan(2)+\arctan(3)=180^\circ.\]

Solución. La desigualdad entre las medias aritmética y geométrica nos dice que \begin{align*} \frac{3^{x^2-x-y}+3^{y^2-y-z}+3^{z^2-z-x}}{3}&\geq\sqrt[3]{3^{x^2-x-y}\cdot 3^{y^2-y-z}\cdot 3^{z^2-z-x}}\\ &=3^{\frac{x^2-2x+y^2-2y+z^2-2z}{3}}=3^{\frac{(x-1)^2+(y-1)^2+(z-1)^2-3}{3}}\\ &=\tfrac{1}{3}\cdot 3^{\frac{(x-1)^2+(y-1)^2+(z-1)^2}{3}}\geq \frac{1}{3}. \end{align*} Por lo tanto, $3^{x^2-x-y}+3^{y^2-y-z}+3^{z^2-z-x}\geq 1$ para todo $x,y,z\in\mathbb{R}$ y, si la igualdad se alcanza, tiene que ser $(x-1)^2+(y-1)^2+(z-1)^2=0$, es decir, $x=y=z=1$. Como $x=y=z=1$ verifica la ecuación del enunciado, deducimos que esta es la única solución.

Nota. Las exponenciales pueden ocultar la aplicación de la desigualdad entre las medias aritmética-geométrica, pero una solución similar se tiene aplicando la desigualdade de Jensen a la función convexa $f(t)=3^t$. ¿Sabrías escribir los detalles?

Solución. Consideremos la función \[f:\mathbb{R}\to\mathbb{R},\qquad f(t)=\sqrt[3]{6t^2-12t+8},\] con la que el problema se reduce encontrar $x,y,z\in\mathbb{R}$ tales que $y=f(x)$, $z=f(y)$ y $x=f(z)$, es decir, empezando en $x$ queremos volver a obtener $x$ tras aplicar tres veces la función. Observemos que tiene que ser $x\geq\sqrt[3]{2}$ ya que se debe cumplir que $x^3=6z^2-12z+8=6(z-1)^2+2\geq 2$. También tenemos que $f(x)=x$ se traduce en que $(x-2)^3=x^3-6x^2+12x-8=0$, luego $x=2$ es el único valor que cumple $f(x)=x$. Distingamos casos:

• Si $\sqrt[3]{2}\leq x\lt 2$, entonces $(x-2)^3\leq 0$, luego $x^3\lt 6x^2+12x-8$ y, tomando raíces cúbicas, $x\lt f(x)$. Además, se tiene que $f(x)^3=6(x-1)^2+2\leq 6(2-1)+2=8$ (ya que esta parábola tiene su máximo en el $x=2$, el punto del intervalo $[\sqrt[3]{2},2]$ más alejado del vértice $x=1$). Deducimos que en este caso se cumple que \[\sqrt[3]{2}\leq x\lt f(x)\lt 2,\] luego no existen $y,z\in\mathbb{R}$ tales que $y=f(x)$, $z=f(y)$ y $x=f(z)$ puesto que tendríamos que $x\lt f(x)= y\lt f(y)= z\lt f(z)= x$ y esto es contradictorio.
• Si $x\gt 2$, el razonamiento es parecido pero un poco más sencillo. Como en este caso $(x-2)^3\gt 2$, obtenemos directamente que $x^3\lt 6x^2-12x+8$ y, por tanto, $f(x)\gt x\gt 2$, lo que impide también la existencia de $y,z\in\mathbb{R}$ tales que $y=f(x)$, $z=f(y)$ y $x=f(z)$.

La única posibilidad que nos queda es $x=2$, que nos da $y=f(x)=f(2)=2$ y $z=f(y)=f(2)=2$. En consecuencia, $x=y=z=2$ es la única solución del sistema.