Olimpiadas de Matemáticas
Página de preparación y problemas

Los números $1,2,\ldots,2n$ se separan en dos sucesiones disjuntas $a_1\lt a_2\lt\ldots\lt a_n$ y $b_1\gt b_2\gt\ldots\gt b_n$. Demostrar que \[|a_1-b_1|+|a_2-b_2|+\ldots+|a_n-b_n|=n^2.\]

La sucesión infinita$\{a_1,a_2,a_3,\ldots\}$ cumple que $a_{4n+1}=1$, $a_{4n+3}=0$ y $a_{2n}=a_n$. Demostrar que esta sucesión no es periódica.

En la siguiente tabla, cada entrada es un entero positivo distinto y cada uno de ellos es la suma del número que está por encima y del número que está a su izquierda. \[\begin{matrix} &&&j\\ &&h&i\\ &e&f&g\\ a&b&c&d\end{matrix}\] ¿Cuál es el menor valor posible de $d$?

Consideremos la sucesión de números reales definida recursivamente como \[x_1=1,\quad x_2=1,\quad x_{n+2}=x_{n+1}^2-\tfrac{1}{2}x_n.\] Demostrar que es convergente y hallar su límite.

Los números reales positivos $x,y,z$ cumplen las ecuaciones \[\left\{\begin{array}{l} x^2+xy+\frac{y^2}{3}=25,\\ \frac{y^2}{3}+z^2=9,\\ z^2+zx+x^2=16. \end{array}\right.\] Hallar el valor de $xy+2yz+3zx$.