Olimpiadas de Matemáticas
Página de preparación y problemas

En la siguiente tabla, cada entrada es un entero positivo distinto y cada uno de ellos es la suma del número que está por encima y del número que está a su izquierda. \[\begin{matrix} &&&j\\ &&h&i\\ &e&f&g\\ a&b&c&d\end{matrix}\] ¿Cuál es el menor valor posible de $d$?

Consideremos la sucesión de números reales definida recursivamente como \[x_1=1,\quad x_2=1,\quad x_{n+2}=x_{n+1}^2-\tfrac{1}{2}x_n.\] Demostrar que es convergente y hallar su límite.

Los números reales positivos $x,y,z$ cumplen las ecuaciones \[\left\{\begin{array}{l} x^2+xy+\frac{y^2}{3}=25,\\ \frac{y^2}{3}+z^2=9,\\ z^2+zx+x^2=16. \end{array}\right.\] Hallar el valor de $xy+2yz+3zx$.

Dos ángulos agudos $\alpha$ y $\beta$ cumplen la condición \[\mathrm{sen}^2(\alpha)+\mathrm{sen}^2(\beta)=\mathrm{sen}(\alpha+\beta).\] Demostrar que $\alpha+\beta=\frac{\pi}{2}$.

Un número natural $k$ tiene $n$ dígitos en el sistema decimal. El número se redondea a las decenas, luego el resultado se redondea a las centenas y así sucesivamente $n-1$ veces. Demostrar que el número obtenido al final del proceso es menor que $\frac{18}{13}k$.

Nota: por ejemplo, si empezamos por $191$, obtenemos $190$ y finalmente $200$; si empezamos por $135$, luego $140$ y finalmente $100$.