Olimpiadas de Matemáticas
Página de preparación y problemas

Un saltamontes va saltando por puntos del primer cuadrante del plano. Desde un punto $(x,y)$ puede elegir saltar al punto $(x+1,y-1)$ o al punto $(x-5,y+7)$, pero no puede abandonar el primer cuadrante. Determinar el conjunto de puntos $(x,y)$ desde los cuales nunca puede alcanzar una distancia mayor que $1000$ al origen.

Consideremos números enteros $a_n,b_n,c_n,d_n$ tales que \[(1+\sqrt{2}+\sqrt{3})^n=a_n+b_n\sqrt{2}+c_n\sqrt{3}+d_n\sqrt{6}.\] Hallar los límites, cuando $n$ tiende a infinito, de $\frac{b_n}{a_n}$, $\frac{c_n}{a_n}$ y $\frac{d_n}{a_n}$.

Demostrar que existe un valor real de $k$ tal que se pueden encontrar $1978$ cuadrados de tamaños distintos con todos sus vértices sobre la gráfica de la función $y=k\,\mathrm{sen}(x)$.

Si $a_n$ es el entero más cercano a $\sqrt{n}$, hallar el valor de \[\frac{1}{a_1}+\frac{1}{a_2}+\ldots+\frac{1}{a_{1980}}.\]

Siete elfos se sientan alrededor de una mesa. Cada uno de ellos tiene una taza y todas las tazas contienen un total de $3$ litros de leche. Cada elfo, por turnos, reparte toda su leche a los otros seis a partes iguales y, al final del proceso, todos los elfos tienen la misma cantidad de leche con la que empezaron. Determinar cuánta leche tenía cada elfo al principio.