Olimpiadas de Matemáticas
Página de preparación y problemas

Demostrar que existe un valor real de $k$ tal que se pueden encontrar $1978$ cuadrados de tamaños distintos con todos sus vértices sobre la gráfica de la función $y=k\,\mathrm{sen}(x)$.

Si $a_n$ es el entero más cercano a $\sqrt{n}$, hallar el valor de \[\frac{1}{a_1}+\frac{1}{a_2}+\ldots+\frac{1}{a_{1980}}.\]

Siete elfos se sientan alrededor de una mesa. Cada uno de ellos tiene una taza y todas las tazas contienen un total de $3$ litros de leche. Cada elfo, por turnos, reparte toda su leche a los otros seis a partes iguales y, al final del proceso, todos los elfos tienen la misma cantidad de leche con la que empezaron. Determinar cuánta leche tenía cada elfo al principio.

Sea $\{a_n\}$ una sucesión infinita de números reales tales que \[\lim_{n\to\infty}\left(a_{n+1}-\frac{a_n}{2}\right)=0.\] Demostrar que necesariamente se tiene que $\displaystyle\lim_{n\to\infty}a_n=0$.

Tres personas caminan a velocidad constante por tres calles rectilíneas. Si el instante $t=0$ las tres personas no están alineadas, demostrar que estarán alineadas a lo sumo dos veces para $t\gt 0$.