Olimpiadas de Matemáticas
Página de preparación y problemas

Solución. Comenzaremos demostrando que $S$ es un entero. Observemos que para todo $\alpha\in\{1º,3º,\ldots,89º\}$, se cumple que $\cos(90\alpha)=0$. Usando números complejos, la fórmula de De Moivre y el binomio de Newton, podemos desarrollar entonces \begin{eqnarray*} 0&=&\mathrm{Re}(\cos(90\alpha)+i\sin(90\alpha))=\mathrm{Re}(\cos(\alpha)+i\sin(\alpha))^{90}\\ &=&\sum_{k=0}^{45}(-1)^{2k}\binom{90}{2k}\cos^{90-2k}(\alpha)\sin^{2k}(\alpha)\\ &=&\cos^{90}(\alpha)\sum_{k=0}^{45}(-1)^{2k}\binom{90}{2k}\tan^{2k}(\alpha). \end{eqnarray*} En la identidad anterior podemos cancelar $\cos^{90}(\alpha)$ ya que es distinto de cero, obteniendo que los 45 números que queremos sumar ($\tan^2(1º)$, $\tan^2(3º)$, ..., $\tan^2(89º)$) son raíces del polinomio de grado 45 \[P(x)=\sum_{k=0}^{45}(-1)^{2k}\binom{90}{2k}x^k.\] Como estos 45 números son todos distintos (la tangente es creciente en el intervalo $[0,90]$), deducimos que son exactamente las raíces de $P(x)$, por lo que su suma será el coeficiente del término de grado $1$ de $P(x)$, es decir, \[S=\binom{90}{2}=\frac{90\cdot 89}{2}=4005.\]

Finalmente, como $\tan(90-x)=\mathrm{cotan}(x)$ y $\tan^2(x)+\tan^2(90-x)=4\mathrm{cotan}^2(2x)+2$ (estas fórmulas se demuestran fácilmente y se dejan para el lector), podemos escribir \begin{align*} S+C&=\sum_{\alpha=1}^{89}\tan^2(\alpha)=\frac{1}{2}\sum_{\alpha=1}^{89}\left(\tan^2(\alpha)+\tan^2(90-\alpha)\right)\\ &=89+2\sum_{\alpha=1}^{89}\mathrm{cotan}^2(2\alpha)=89+4\sum_{\alpha=1}^{44}\mathrm{cotan}^2(2\alpha)=89+4C \end{align*} de donde $S=3C+89$ y podemos despejar $C=\frac{3916}{3}$.

Solución. Comencemos despejando $x$ e $y$ en función de $z$ y $w$. Pare ello, observemos que $x$ e $y$ son soluciones de la ecuación de segundo grado (en la incógnita $u$) dada por \[0=(u-x)(u-y)=u^2-(x+y)u+xy=u^2-(z+w)u+\frac{zw}{2}.\] Por consiguiente, usando la fórmula de la ecuación de segundo grado, tenemos que \[u=\frac{z+w\pm\sqrt{z^2+w^2}}{2}.\] Como cambiar $x$ por $y$ no afecta a la ecuación inicial, no podemos decir qué elección del signo $\pm$ corresponde a $x$ y cuál a $y$. No obstante, cambiar $x$ por $y$ resulta en invertir el cociente $\frac{x}{y}$, luego asumiremos que $x$ corresponde al signo $+$ e $y$ al signo $-$ (y después razonaremos la elección opuesta).

Como $z$ y $w$ son positivas, las dos soluciones anteriores para $u$ también lo son ya que \[(z+w)^2=z^2+w^2+2zw>z^2+w^2,\] de donde $z+w>\sqrt{z^2+w^2}$. Esto nos dice que para cada par de números positivos $(z,w)$ existe un par $(x,y)$ tal que $x,y,z,w$ cumplen el enunciado (y es único salvo permutar $x$ e $y$). Podemos escribir entonces \begin{eqnarray*} \frac{x}{y}&=&\frac{z+w+\sqrt{z^2+w^2}}{z+w-\sqrt{z^2+w^2}}\\ &=&\frac{(z+w+\sqrt{z^2+w^2})^2}{(z+w-\sqrt{z^2+w^2})(z+w+\sqrt{z^2+w^2})}\\ &=&\frac{z^2+w^2+zw+(z+w)\sqrt{z^2+w^2}}{zw}\\ &=&\frac{z}{w}+\frac{w}{z}+1+\left(\frac{\sqrt{z}}{\sqrt{w}}+\frac{\sqrt{w}}{\sqrt{z}}\right)\sqrt{\frac{z}{w}+\frac{w}{z}}. \end{eqnarray*}

Llamando $f(z,w)$ a esta última expresión y aplicando para $r=\frac{z}{w}$ y $r=\frac{\sqrt{z}}{\sqrt{w}}$ la desigualdad elemental $r+\frac{1}{r}\geq 2$, llegamos a que \[f(w,z)=\frac{z}{w}+\frac{w}{z}+1+\left(\frac{\sqrt{z}}{\sqrt{w}}+\frac{\sqrt{w}}{\sqrt{z}}\right)\sqrt{\frac{z}{w}+\frac{w}{z}}\geq3+2\sqrt{2}.\] Además, la función $g:[0,+\infty)\to\mathbb{R}$ dada por $g(t)=f(1,t)$ cumple que $g(1)=3+2\sqrt{2}$ y $\lim_{t\to+\infty}g(t)=+\infty$. Como $g$ es continua, el teorema del valor intermedio nos garantiza que $g$ toma todos los valores en el intervalo $[3+2\sqrt{2},+\infty)$. Por tanto, los valores que toma $\frac{x}{y}$, que no son otros que los que toma $f$, son también los del intervalo $[3+2\sqrt{2},+\infty)$.

Finalmente, si permutamos $x$ e $y$, estamos invirtiendo el cociente $\frac{x}{y}$, luego obtendremos también los valores del intervalo $(0,\frac{1}{3+2\sqrt{2}}]=(0,3-2\sqrt{2}]$. Deducimos que la solución a la pregunta del enunciado es el conjunto \[(0,3-2\sqrt{2}]\cup[3+2\sqrt{2},+\infty).\]