Olimpiadas de Matemáticas
Página de preparación y problemas

Sea $\{a_n\}$ una sucesión infinita de números reales tales que \[\lim_{n\to\infty}\left(a_{n+1}-\frac{a_n}{2}\right)=0.\] Demostrar que necesariamente se tiene que $\displaystyle\lim_{n\to\infty}a_n=0$.

Tres personas caminan a velocidad constante por tres calles rectilíneas. Si el instante $t=0$ las tres personas no están alineadas, demostrar que estarán alineadas a lo sumo dos veces para $t\gt 0$.

Sean $a_1$ y $a_2$ enteros positivos menores que $1000$. Definimos \[a_n=\min\{|a_i-a_j|: 0\lt i\lt j\lt n\}.\] Demostrar que $a_{21}=0$.

Se disponen 50 relojes analógicos sobre una mesa, todos ellos en hora sin atrasar ni adelantar. Demostrar que existe un instante en el que la suma de las distancias del centro de la mesa a los centros de la esferas de los relojes es igual a la suma de las distancias del centro de la mesa a las puntas de las manecillas de los minutos.

Encontrar todos los números reales $a,b,c$ tales que \[|ax+by+cz|=|bx+cy+az|=|cx+ay+bz|=|x+y+z|\] para cualesquiera números reales $x,y,z$.