Olimpiadas de Matemáticas
Página de preparación y problemas

Un número natural $k$ tiene $n$ dígitos en el sistema decimal. El número se redondea a las decenas, luego el resultado se redondea a las centenas y así sucesivamente $n-1$ veces. Demostrar que el número obtenido al final del proceso es menor que $\frac{18}{13}k$.

Nota: por ejemplo, si empezamos por $191$, obtenemos $190$ y finalmente $200$; si empezamos por $135$, luego $140$ y finalmente $100$.

Hallar todas las soluciones del sistema de ecuaciones \[\left\{\begin{array}{l}y^2=x^3-3x^2+2x,\\x^2=y^3-3y^2+2y.\end{array}\right.\]

Una calculadora se ha estropeado y las únicas teclas que aún funcionan son $\sin,\cos,\tan,\sin^{-1},\cos^{-1},\tan^{-1}$ (es decir, las funciones trigonométricas y sus inversas, en radianes). La calculadora inicialmente tiene el valor $0$ en pantalla. Demostrar que, para cualquier racional positivo $q$, existe una secuencia finita de pulsaciones que dan $q$ como resultado.

Se presupone que la calculadora hace las operaciones con precisión infinita.

Sean $a$ y $b$ enteros positivos impares. Definimos la sucesión $\{f_n\}$ tomando $f_1=a$ y $f_2=b$ y, para $n\geq 3$, $f_n$ como el mayor divisor impar de $f_{n-1}+f_{n-2}$. Demostrar que $f_n$ es constante a partir de un término en adelante y determinar el valor de dicha constante en función de $a$ y $b$.

Consideremos todas las funciones $f:[0,1]\to\mathbb{R}$ que verifican:

• $f(x)\geq 0$ para todo $x\in[0,1]$,
• $f(1)=1$,
• $f(x)+f(y)\leq f(x+y)$ siempre que $x,y,x+y\in[0,1]$.

Hallar justificadamente la menor constante $c$ tal que $f(x)\leq cx$ para toda función $f$ verificando las condiciones anteriores y para todo $x\in[0,1]$.