Olimpiadas de Matemáticas
Página de preparación y problemas

Solución. Tenemos una función $f:\mathbb{N}\to\mathbb{N}_0$ cumpliendo las propiedades del enunciado. Por un lado, tenemos que $0=f(10)=f(2)+f(5)$, luego $f(2)=f(5)=0$ ya que ambos números son no negativos. Por tanto, se tiene que $f(1985)=f(5\cdot 397)=f(5)+f(397)=f(397)$. Por otro lado, las propiedades del enunciado nos dicen que \[0=f(3573)=f(3\cdot 3\cdot 397)=f(3)+f(3)+f(397)=f(397)\] ya que tanto $3573$ como $3$ tienen la cifra de las unidades igual a $3$. De aquí deducimos que $f(1985)=0$.

Solución. Consideremos la función auxiliar \[\varphi:\mathbb{R}-\{-1,0,1\}\to\mathbb{R}-\{-1,0,1\},\qquad\varphi(x)=\frac{1-x}{1+x},\] que cumple que $\varphi(\varphi(x))=x$.

La ecuación inicial se puede escribir como $f(x)^2f(\varphi(x))=64x$. Si sustituimos $x$ por $\varphi(x)$, obtenemos que $f(\varphi(x))^2\cdot f(x)=64\varphi(x)$, con lo cual tenemos el sistema \[\left\{\begin{array}{l}f(x)^2f(\varphi(x))=64x,\\f(\varphi(x))^2 f(x)=64\varphi(x).\end{array}\right.\] Elevando la primera igualdad al cuadrado y dividiéndola por la segunda (que no se anula ya que $x\neq\pm 1$, luego $\varphi(x)\neq 0$) llegamos a que $f(x)^3=64\frac{x^2}{\varphi(x)}$, de donde podemos despejar \[f(x)=\sqrt[3]{\frac{64x^2}{\varphi(x)}}=4\sqrt[3]{\frac{x^2(1+x)}{1-x}}.\] Puede comprobarse que esta función está bien definida para $x\neq-1$ y satisface la igualdad del enunciado, luego es la única solución al problema.

Solución. Supongamos que $\{a,a+1,a+2,\ldots,a+m\}$ es un conjunto de números naturales consecutivos tales que su suma $S$ es igual a $1999$. Usando la fórmula de los términos de una progresión aritmética, podemos calcular \begin{eqnarray} S=a+(a+1)+\cdots+(a+m)&=&(m+1)\cdot a+(1+2+\cdots+m)\\ &=&(m+1)\cdot a+\frac{m(m+1)}{2}. \end{eqnarray} Sacando factor común $m+1$ y quitando denominadores, llegamos a que $(m+1)(2a+m)=3998$. La descomposición en factores primos de $3998$ es $2\cdot 1999$ ya que $1999$ es primo. Además, $m+1$ es un número positivo, luego tenemos las siguientes posibilidades:

• $m+1=1$ y $2a+m=3998$, en cuyo caso $m=0$ y $a=1999$.
• $m+1=2$ y $2a+m=1999$, en cuyo caso $m=1$ y $a=999$.
• $m+1=1999$ y $2a+m=2$, lo que nos lleva a un valor negativo de $a$.
• $m+1=3998$ y $2a+m=1$, que también nos lleva a un valor negativo de $a$.

Deducimos que las únicas sucesiones que cumplen el enunciado son la que tiene por único elemento al número $1999$ y la formada por los números $999$ y $1000$.

Solución. Observemos que, para cada \(n\in\mathbb{N}\), podemos expresar \[4-\frac{2}{n}=\frac{4n-2}{n}=\frac{2n(2n-1)}{n^2},\] luego el producto del enunciado es igual a \[\frac{(2\cdot 1)(4\cdot 3)(6\cdot 5)\cdots(4022\cdot 4021)}{1^2\cdot 2^2\cdot 3^2\cdots 2011^2}=\frac{4022!}{2011!\cdot 2011!}=\left(\begin{matrix}4022\\2011\end{matrix}\right),\] que es un número combinatorio y, por tanto, un número natural.

Solución. Consideremos el polinomio \[P(x)=1+x+x^2+\cdots+x^n=\frac{x^{n+1}-1}{x-1},\] donde en la segunda igualdad hemos usado la fórmula de la suma de los términos de una progresión geométrica. Es fácil darse cuenta de que el miembro de la izquierda es \(P'(2)-1\) pero, para calcular, \(P'(x)\) en general usaremos la fórmula dada por la fracción. Derivando dicho cociente, obtenemos que \[P'(x)=\frac{nx^{n-1}-(n+1)x^n+1}{(x-1)^2}.\] Ahora bien, haciendo \(x=2\), restando \(1\) y simplificando, obtenemos inmediatamente el miembro de la derecha de la igualdad del enunciado.