Olimpiadas de Matemáticas
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Solución. https://www.komal.hu/verseny/2000-09/A.e.shtml

Solución. Como $n!>0$, podemos dividir la ecuación original entre $n!$ y obtenemos que \[\frac{(n!)!}{n!}=(2n-1)!\] La fracción de la izquierda es igual a $(n!-1)!$ luego obtenemos que \[(n!-1)!=(2n-1)!\] Podemos estar tentados de quitar los factoriales en ambos miembros, pero esto no es posible ya que $1!=0!$ y $1\neq 0$. Como éste es el único caso en que esto falla, podemos distinguir tres casos:

• Si $n!-1=1$ y $2n-1=0$, entonces $n=\frac{1}{2}$ no es un número natural.
• Si $n!-1=0$ y $2n-1=1$, entonces obtenemos la solución $n=1$.
• En cualquier otro caso, podemos eliminar los factoriales obteniendo $n!-1=2n-1$, es decir, $n!=2n$. Como $n=0$ no es solución, podemos dividir por $n$ y llegamos a que $(n-1)!=2$, es decir, $n=3$.

Hemos demostrado que las únicas soluciones a la ecuación original son $n=1$ y $n=3$.

Solución. Los números $k$ tales que $E(\sqrt{k})=n$ son los comprendidos entre $n^2$ y $(n+1)^2-1$ (ambos incluidos), que hacen un total de $(n+1)^2-n^2=2n+1$ números (cantidad impar). Cuando sumamos $E(\sqrt{k})$ en todos estos números con signos alternados obtenemos una suma $\pm(n-n+n-n+\ldots +n)=\pm n$, donde el signo depende de que $n$ sea par (negativo) o impar (positivo). Por tanto, podemos agrupar la suma de la siguiente manera \begin{eqnarray} E(\sqrt{1})-E(\sqrt{2})+E(\sqrt{3})&=&1\\ -E(\sqrt{4})+E(\sqrt{5})+\ldots-E(\sqrt{8})&=&-2\\ E(\sqrt{9})-E(\sqrt{10})+\dots+E(\sqrt{15})&=&3\\ &\vdots&\\ E(\sqrt{1849})-E(\sqrt{1850})+\ldots+E(\sqrt{1935})&=&43\\ -E(\sqrt{1936})+E(\sqrt{1937})+\ldots-E(\sqrt{2015})&=&0. \end{eqnarray} Observemos que la última suma es cero ya que hay un número par de sumandos (iguales a $\pm 44$) que se cancelan dos a dos. Así, el valor de la suma original es \[1-2+3-4+\ldots-42+43=22.\]