Olimpiadas de Matemáticas
Página de preparación y problemas

Sean $a_1$ y $a_2$ enteros positivos menores que $1000$. Definimos \[a_n=\min\{|a_i-a_j|: 0\lt i\lt j\lt n\}.\] Demostrar que $a_{21}=0$.

Se disponen 50 relojes analógicos sobre una mesa, todos ellos en hora sin atrasar ni adelantar. Demostrar que existe un instante en el que la suma de las distancias del centro de la mesa a los centros de la esferas de los relojes es igual a la suma de las distancias del centro de la mesa a las puntas de las manecillas de los minutos.

Encontrar todos los números reales $a,b,c$ tales que \[|ax+by+cz|=|bx+cy+az|=|cx+ay+bz|=|x+y+z|\] para cualesquiera números reales $x,y,z$.

Sean $x$ e $y$ números reales positivos que cumplen el siguientes sistema de ecuaciones: \[\left\{\begin{array}{l}\sqrt{x}\left(2+\frac{5}{x+y}\right)=3\\ \sqrt{y}\left(2-\frac{5}{x+y}\right)=2\end{array}\right.\]

Un entero positivo $n$ es inverosímil si existen $n$ enteros no necesariamente distintos tales que su suma y su producto sean iguales a $n$. ¿Cuántos enteros positivos menores o iguales a $2022$ son inverosímiles?