Olimpiadas de Matemáticas
Página de preparación y problemas

Solución. La ecuación funcional nos dice que \(f\) tiene que ser sobreyectiva ya que el miembro de la derecha toma cualquier valor entero al variar \(m,n\in\mathbb{Z}\). Tomando \(n_0\in\mathbb{Z}\) tal que \(f(n_0)=0\) y sustituyendo \(n=n_0\), tenemos que \(n_0=0\) y, por tanto, \(f(0)=0\). Así es claro que \(f(m^2)=f(m)^2\) para todo \(m\in\mathbb{Z}\) y, en particular (para \(m=1\)) tenemos que \(f(1)=f(1)^2\) luego \(f(1)=0\) ó \(f(1)=1\). La primera opción no es posible ya que hemos probado que el único entero que tiene imagen cero es el propio cero, luego \(f(1)=1\). Tomando en la ecuación original \(m=1\), se sigue que \(f(f(n)+1)=f(n)+1\) luego \(f(2)=f(f(1)+1)=f(1)+1=2\), \(f(3)=f(f(2)+1)=f(2)+1=3\) y, reiterando el proceso, se prueba que \(f(n)=n\) para todo \(n\in\mathbb{N}\). Para ver que esto también es válido para los negativos, observemos que \(f(m)^2=f(m^2)=f(-m)^2\) luego \(f(-m)=\pm f(m)\) y, si probamos que \(f\) es inyectiva, tendríamos que \(f(-m)=-f(m)\) y habremos terminado. Para ver que es inyectiva, haciendo \(m=0\) en la ecuación original, \(f(f(n)))=n\) luego si \(f(a)=f(b)\) para ciertos \(a,b\in\mathbb{Z}\), tendremos que \(f(f(a))=f(f(b))\) y \(a=b\).

Solución. Multiplicando la ecuación por $4a$ y agrupando cuadrados, podemos escribirla de forma equivalente como \[0=4a^2x^2+4abx+4ac=(2ax+b)^2+4ac-b^2.\] Así, podemos aislar el cuadrado en uno de los miembros y tomar raíces cuadradas, es decir, \[2ax+b=\pm\sqrt{b^2-4ac}.\] Despejando $x$ obtenemos las dos soluciones del enunciado.