Olimpiadas de Matemáticas
Página de preparación y problemas

Consideremos un intervalo abierto de longitud $\frac{1}{n}$ en la recta real, siendo $n$ un entero positivo. Demostrar que el número de fracciones irreducibles $\frac{p}{q}$ con $1\leq q\leq n$ que están en el intervalo dado es a lo sumo $\frac{n+1}{2}$.

Sean $A,B,C,x,y,z$ números reales tales que $A+B+C$ es un múltiplo entero de $\pi$ y \[x\,\mathrm{sen}(A)+y\,\mathrm{sen}(B)+z\,\mathrm{sen}(C)=x^2\,\mathrm{sen}(2A)+y^2\,\mathrm{sen}(2B)+z^2\,\mathrm{sen}(2C)=0.\] Demostrar que, para todo entero positivo $n$, se tiene que \[x^n\,\mathrm{sen}(nA)+y^n\,\mathrm{sen}(nB)+z^n\,\mathrm{sen}(nC)=0.\]

Encontrar el máximo número de ternas de números en progresión aritmética que puede contener una sucesión de $n$ números reales distintos.

Una balanza tiene sus dos brazos de distinta longitud y peso. Se quieren pesar tres objetos: el primero se equilibra con una pesa $A$ cuando se coloca en el platillo de la izquierda y con una pesa $a$ cuando se coloca en el platillo de la derecha; el segundo objeto se equilibra con una pesa $B$ cuando se coloca en el platillo de la izquierda y con una pesa $b$ cuando se coloca en el platillo de la derecha; el tercer objeto se equilibra con una pesa $C$ cuando se coloca en el platillo de la izquierda. ¿Cuál es el peso real de este tercer objeto?

Se consideran tres números reales $0\lt a,b,c\lt\frac{\pi}{2}$ tales que \[\cos(a)=a,\qquad \mathrm{sen}(\cos(b))=b,\qquad \cos(\sin(c))=c.\] ¿Cuáles son el mayor y el menor de los tres números?