Olimpiadas de Matemáticas
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Solución. Igualando las últimas dos ecuaciones y simplificando el factor común $x$ (que no puede ser igual a cero claramente), obtenemos \[(y+1)xz=4=(z+1)xy\ \Leftrightarrow\ yz+z=yz+y\ \Leftrightarrow\ y=z.\] Sustituyendo $z=y$, las dos primeras ecuaciones nos dan el sistema \[\left.\begin{array}{l}xy^2+y^2=12\\xy^2+xy=4\end{array}\right\}\] Restando estas dos ecuaciones obtenemos que $y^2=8+xy$. Multiplicando por $y$ y sustituyendo el valor de $xy^2$ que podemos despejar de la primera de ellas, nos queda $y^3=8y+xy^2=8y+12-y^2$. De esta forma, obtenemos la siguiente ecuación de tercer grado en la variable $y$: \[y^3+y^2-8y-12=0.\] Es fácil encontrar las raíces de este polinomio ya que son números enteros (y, por tanto, divisores del término independiente). Nos queda la raíz doble $y=-2$ y la raíz simple $y=3$. De la ecuación $xy^2+y^2=12$ podemos despejar los correspondientes valores de $x$, lo que nos da las dos soluciones al sistema original $(x,y,z)=(2,-2,-2)$ y $(x,y,z)=(\frac{1}{3},3,3)$.