Olimpiadas de Matemáticas
Página de preparación y problemas

Encontrar todas las funciones $f:\mathbb{Q}\to\mathbb{Q}$ tales que la ecuación \[f(x\,f(x)+y)=f(y)+x^2\] se cumple para todos los números racionales $x$ e $y$.

Determinar si existe una sucesión infinita $\{a_1,a_2,a_3,\ldots\}$ de enteros positivos que satisface la igualdad \[a_{n+2} = a_{n+1} + \sqrt{a_{n+1}+a_n}\] para todo entero positivo $n$.

Determinar todas las funciones $f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}$ que satisfacen la siguiente condición: \[f(y^2+2xf(y)+f(x)^2)=(y+f(x))(x+f(y))\] para cualesquiera números reales $x$ e $y$.

Determinar todas las funciones $f:\mathbb{Z}\to\mathbb{Z}$ tales que, para todos los enteros $a$ y $b$, \[f(2a) + 2f(b) = f(f(a + b)).\]

Sea $\{a_1, a_2,\ldots\}$ una sucesión infinita de enteros positivos. Supongamos que existe un entero $N\gt 1$ tal que para cada $n\geq N$ el número \[\frac{a_1}{a_2}+\frac{a_2}{a_3}+\ldots+\frac{a_{n-1}}{a_n}+\frac{a_n}{a_1}\] es entero. Demostrar que existe un entero positivo $M$ tal que $a_m = a_{m+1}$ para todo $m\geq M$.