Olimpiadas de Matemáticas
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La base de datos contiene 2764 problemas y 1057 soluciones.
Problema 2312
Encontrar todas las funciones $f:(0,+\infty)\to(0,+\infty)$ que cumplen que
\[f(x\,f(y))=f(xy)+x\]
para cualesquiera $x,y\gt 0$.
pistasolución 1info
Pista. Haz $x=f(z)$ en la ecuación funcional y usa la simetría de la expresión resultante.
Solución. Si hacemos $x=f(z)$ en la ecuación funcional, obtenemos que
\[f(f(z)f(y))=f(yf(z))+f(z)\stackrel{\star}{=}f(yz)+y+f(z),\]
donde en $\star$ hemos usado de nuevo la ecuación funcional. Como lo anterior es cierto para cualesquiera $y,z\gt 0$ y hay términos simétricos, intercambiando $z$ por $y$, obtenemos que \[f(yz)+y+f(z)=f(f(z)f(y))=f(zy)+z+f(y),\]
de donde $y+f(z)=z+f(y)$ para todo $y,z\gt 0$. Esto nos lleva a que $f(z)=z+a$ para cierto $a\in\mathbb{R}$. Sin embargo, la única de estas funciones que cumple la ecuación original es para $a=1$ y deducimos que $f(z)=z+1$ es la única solución.
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Problema 2292
ASU, 1981-P10
Hallar las sucesiones infinitas $\{a_1,a_2,\ldots\}$ de enteros positivos que verifican que $a_n\leq n^{3/2}$ para todo $n$ y $m-n$ divide a $a_m-a_n$ para todo $m\gt n$.
Sin pistas
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Problema 2282
ASU, 1980-P20
Consideremos una sucesión $\{x_n\}$ de números en el intervalo $(0,1)$ tal que $x_{n+1}$ se obtiene reordenando los dígitos de $x_n$ que ocupan las posiciones $n+1,n+2,n+3,n+4,n+5$ tras la coma decimal.
- Demostrar que dicha sucesión es convergente.
- Si $x_0$ es racional, ¿puede ser el límite irracional?
- Encontrar un valor de $x_0$ tal que todo elemento de la sucesión sea irracional sin importar cómo se hagan las reordenaciones.
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Problema 2280
ASU, 1980-P18
Demostrar que existen infinitos enteros positivos $n$ tales que
\[\lfloor a^{3/2}\rfloor+\lfloor b^{3/2}\rfloor=n\]
tiene al menos $1980$ soluciones enteras distintas.
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Problema 2276
ASU, 1980-P14
Dado un entero $m$, consideremos una sucesión $\{a_n\}$ de enteros positivos tales que $a_{n+1}$ es la suma de $a_n$ con el producto de sus dígitos y $a_1=m$. Determinar si existe $m$ tal que $\{a_n\}$ no esté acotada.
Sin pistas
Sin soluciones
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