Olimpiadas de Matemáticas
Página de preparación y problemas

Hallar todos los enteros $n\geq 3$ para los que existen números reales $a_1, a_2,\ldots,a_{n+2}$ tales que $a_{n+1}=a_1$ y $a_{n+2} = a_2$ y \[a_ia_{i+1} + 1 = a_{i+2}\] para todo $i=1,2,\ldots,n$.

Determinar todas las funciones $f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}$ tales que, para cualesquiera números reales $x$ e $y$, se cumple que \[f(f(x)f(y))+f(x+y)=f(xy).\]

Para cad entero $a_0\gt 1$, se define la sucesión $\{a_0,a_1,a_2,\ldots\}$ tal que, para cada $n\geq 0$, \[a_{n+1}=\begin{cases}\sqrt{a_n}&\text{si }\sqrt{a_n}\text{ es entero},\\ a_n+3&\text{en caso contrario}.\end{cases}\] Determinar todos los valores de $a_0$ para los que existe un número $A$ tal que $a_n=A$ para infinitos valores de $n$.

La sucesión de enteros $\{a_1,a_2,\ldots\}$ satisface las siguinentes condiciones:

• $1\leq a_j\leq 2015$ para todo $j\geq 1$;
• $k+a_k\neq \ell+a_{\ell}$ para todo $1\leq k\lt\ell$.

Demostrar que existen dos enteros positivos $b$ y $N$ tales que \[\left|\sum_{j=m+1}^n(a_j-b)\right|\leq 1007^2\] para todos los enteros $m$ y $n$ que satisfacen $n\gt m\geq N$.

Determinar todas las funciones $f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}$ que satisfacen la ecuación \[f(x+f(x+y))+f(xy)=x+f(x+y)+yf(x)\] para todos los números reales $x,y\in\mathbb{R}$.