Olimpiadas de Matemáticas
Página de preparación y problemas

Sean $u$ y $v$ números reales tales que \[u+u^2+u^3\ldots+u^8+10u^9=v+v^2+v^3+\ldots+v^{10}+10v^{11}=8.\] Determinar justificadamente cuál de los dos números $u$ y $v$ es mayor.

Para cada enteros positivo $n$, definimos \begin{align*} S_n&=1+\tfrac{1}{2}+\tfrac{1}{3}+\ldots+\tfrac{1}{n},\\ T_n&=S_1+S_2+S_3+\ldots+S_n,\\ U_n&=\tfrac{T_1}{2}+\tfrac{T_2}{3}+\tfrac{T_3}{4}+\ldots+\tfrac{T_n}{n+1}. \end{align*} Encontrar justificadamente enteros $0\lt a,b,c,d\lt 1000000$ tales que \[T_{1998}=a\cdot S_{1989}-b\quad\text{y}\quad U_{1988}=c\cdot S_{1989}-d.\]

Determinar todas las raíces reales de la ecuación \[x^4-(2\cdot 10^2+1)x^2-x+10^{20}+10^{10}-1=0\] con cuatro cifras decimales significativas.

Determinar si existen soluciones enteras positivas del sistema de ecuaciones \[x_1^2+x_2^2+\ldots+x_{1985}^2=y^3,\qquad x_1^3+x_2^3+\ldots+x_{1985}^3=z^2,\] siendo $x_1,x_2,\ldots,x_{1985}$ enteros distintos.

Consideremos un intervalo abierto de longitud $\frac{1}{n}$ en la recta real, siendo $n$ un entero positivo. Demostrar que el número de fracciones irreducibles $\frac{p}{q}$ con $1\leq q\leq n$ que están en el intervalo dado es a lo sumo $\frac{n+1}{2}$.