Olimpiadas de Matemáticas
Página de preparación y problemas

Consideremos $1980$ vectores en el plano tales que la suma de $1979$ cualesquiera de ellos es proporcional al vector restante y no todos los vectores son proporcionales entre sí. Demostrar que la suma de todos los vectores es cero.

Encontrar todas las soluciones reales del sistema \[\left\{\begin{array}{l} \mathrm{sen}(x)+2\mathrm{sen}(x+y+z)=0,\\ \mathrm{sen}(x)+3\mathrm{sen}(x+y+z)=0,\\ \mathrm{sen}(x)+4\mathrm{sen}(x+y+z)=0.\end{array}\right.\]

Se divide un cuadrado en $n$ bandas paralelas al lado inferior del cuadrado y todas ellas de anchura un número entero. La suma de las anchuras de las bandas que tienen anchura impar es igual a la suma de las anchuras de las bandas que tienen anchura par. Se traza una de las diagonales del cuadrado, la cual divide a cada banda en dos partes: izquierda y derecha. Demostrar que la suma de las áreas de las partes izquierdas de las bandas que tienen anchura impar es igual a la suma de las áreas de las partes derechas de las bandas que tienen anchura par.

Sean $a$ y $b$ números reales. Encontrar todos los números reales $x$ e $y$ que verifican el siguiente sistema de ecuaciones: \[\left\{\begin{array}{l} x-y\sqrt{x^2-y^2}=a\sqrt{1-x^2+y^2}\\ y-x\sqrt{x^2-y^2}=b\sqrt{1-x^2+y^2} \end{array}\right.\]

Sea $X$ un conjunto finito de puntos del plano y elijamos un conjunto $S$ de vectores con origen y extremo en puntos de $X$. Si para todo punto $A\in X$ hay tantos vectores en $S$ con origen en $A$ como vectores con extremo en $A$, demostrar que la suma de todos los vectores de $S$ es cero.