Olimpiadas de Matemáticas
Página de preparación y problemas

La sucesión de enteros $\{a_1,a_2,\ldots\}$ satisface las siguinentes condiciones:

• $1\leq a_j\leq 2015$ para todo $j\geq 1$;
• $k+a_k\neq \ell+a_{\ell}$ para todo $1\leq k\lt\ell$.

Demostrar que existen dos enteros positivos $b$ y $N$ tales que \[\left|\sum_{j=m+1}^n(a_j-b)\right|\leq 1007^2\] para todos los enteros $m$ y $n$ que satisfacen $n\gt m\geq N$.

Determinar todas las funciones $f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}$ que satisfacen la ecuación \[f(x+f(x+y))+f(xy)=x+f(x+y)+yf(x)\] para todos los números reales $x,y\in\mathbb{R}$.

Sea $a_0\lt a_1\lt a_2\lt\ldots$ una sucesión infinita estrictamente creciente de números enteros positivos. Demostrar que existe un único entero $n\geq 1$ tal que \[a_n\lt\frac{a_0+a_1+\ldots+a_n}{n}\leq a_{n+1}.\]

Sea $\mathbb{Q}_{\gt 0}$ el conjunto de los números racionales mayores que cero. Sea $f:\mathbb{Q}_{\gt 0}\to\mathbb{R}$ una función que satisface las tres siguientes condiciones:

• $f(x)f(y)\geq f(xy)$ para todo $x,y\in\mathbb{Q}_{\gt 0}$;
• $f(x+y)\geq f(x)+f(y)$ para todo $x,y\in\mathbb{Q}_{\gt 0}$;
• existe un número racional $a\gt1$ tal que $f(a)=a$.

Demostrar que $f(x) = x$ para todo $x\in\mathbb{Q}_{\gt 0}$.

Hallar todos los enteros positivos $n$ para los cuales existen enteros no negativos $a_1,a_2,\ldots,a_n$ tales que \[\frac{1}{2^{a_1}}+\frac{1}{2^{a_2}}+\ldots+\frac{1}{2^{a_n}}=\frac{1}{3^{a_1}}+\frac{2}{3^{a_2}}+\ldots+\frac{n}{3^{a_n}}=1.\]