Sea $a_0\lt a_1\lt a_2\lt\ldots$ una sucesión infinita estrictamente creciente de números enteros positivos. Demostrar que existe un único entero $n\geq 1$ tal que
\[a_n\lt\frac{a_0+a_1+\ldots+a_n}{n}\leq a_{n+1}.\]
Sea $\mathbb{Q}_{\gt 0}$ el conjunto de los números racionales mayores que cero. Sea $f:\mathbb{Q}_{\gt 0}\to\mathbb{R}$ una función que satisface las tres siguientes condiciones:
$f(x)f(y)\geq f(xy)$ para todo $x,y\in\mathbb{Q}_{\gt 0}$;
$f(x+y)\geq f(x)+f(y)$ para todo $x,y\in\mathbb{Q}_{\gt 0}$;
existe un número racional $a\gt1$ tal que $f(a)=a$.
Demostrar que $f(x) = x$ para todo $x\in\mathbb{Q}_{\gt 0}$.
Hallar todos los enteros positivos $n$ para los cuales existen enteros no negativos $a_1,a_2,\ldots,a_n$ tales que
\[\frac{1}{2^{a_1}}+\frac{1}{2^{a_2}}+\ldots+\frac{1}{2^{a_n}}=\frac{1}{3^{a_1}}+\frac{2}{3^{a_2}}+\ldots+\frac{n}{3^{a_n}}=1.\]
Hallar todas las funciones $f:\mathbb{Z}\to\mathbb{Z}$ que cumplen la siguiente igualdad:
\[f(a)^2 + f(b)^2 + f(c)^2 = 2f(a)f(b) + 2f(b)f(c) + 2f(c)f(a),\]
para todos los enteros $a,b,c$ que satisfacen $a+b+c=0$.
Sea $f:\mathbb{Z}\to\mathbb{N}$ una función del conjunto de los enteros al conjunto de los enteros positivos. Se supone que para cualesquiera dos enteros $m$ y $n$, la diferencia $f(m)-f(n)$ es divisible por $f(m-n)$. Demostrar que para todos los enteros $m$ y $n$ con $f(m)\leq f(n)$, el número $f(n)$ es divisible por $f(m)$.