Olimpiadas de Matemáticas
Página de preparación y problemas

En la pizarra están escritos los números $0$ y $1$. Podemos escribir en la pizarra la media aritmética de otros números que ya estén escritos en la pizarra, siempre que dicha media no esté ya escrita.

1. Demostrar que puede llegar escribirse el número $\frac{1}{5}$
2. Demostrar que puede llegar a escribirse cualquier número racional entre $0$ y $1$.

Un saltamontes va saltando por puntos del primer cuadrante del plano. Desde un punto $(x,y)$ puede elegir saltar al punto $(x+1,y-1)$ o al punto $(x-5,y+7)$, pero no puede abandonar el primer cuadrante. Determinar el conjunto de puntos $(x,y)$ desde los cuales nunca puede alcanzar una distancia mayor que $1000$ al origen.

Consideremos números enteros $a_n,b_n,c_n,d_n$ tales que \[(1+\sqrt{2}+\sqrt{3})^n=a_n+b_n\sqrt{2}+c_n\sqrt{3}+d_n\sqrt{6}.\] Hallar los límites, cuando $n$ tiende a infinito, de $\frac{b_n}{a_n}$, $\frac{c_n}{a_n}$ y $\frac{d_n}{a_n}$.

Demostrar que existe un valor real de $k$ tal que se pueden encontrar $1978$ cuadrados de tamaños distintos con todos sus vértices sobre la gráfica de la función $y=k\,\mathrm{sen}(x)$.

Si $a_n$ es el entero más cercano a $\sqrt{n}$, hallar el valor de \[\frac{1}{a_1}+\frac{1}{a_2}+\ldots+\frac{1}{a_{1980}}.\]