Olimpiadas de Matemáticas
Página de preparación y problemas

Hallar todas las funciones $f:\mathbb{Z}\to\mathbb{Z}$ que cumplen la siguiente igualdad: \[f(a)^2 + f(b)^2 + f(c)^2 = 2f(a)f(b) + 2f(b)f(c) + 2f(c)f(a),\] para todos los enteros $a,b,c$ que satisfacen $a+b+c=0$.

Sea $f:\mathbb{Z}\to\mathbb{N}$ una función del conjunto de los enteros al conjunto de los enteros positivos. Se supone que para cualesquiera dos enteros $m$ y $n$, la diferencia $f(m)-f(n)$ es divisible por $f(m-n)$. Demostrar que para todos los enteros $m$ y $n$ con $f(m)\leq f(n)$, el número $f(n)$ es divisible por $f(m)$.

Sea $f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}$ una función del conjunto de los números reales en sí mismo que satisface \[f(x + y) \leq yf(x) + f(f(x))\] para todo par de números reales $x, y$. Demostrar que $f(x) = 0$ para todo $x\leq 0$.

Sea $a_1,a_2,a_3,\ldots$ una sucesión de números reales positivos. Sabemos que, para algún entero positivo s, se cumple que \[a_n=\max\{a_k+a_{n-k}:1\leq k\leq n-1\}\] para todo $n\gt s$. Demostrar que existen enteros positivos $\ell$ y $N$, con $\ell\leq s$, tales que $a_n = a_\ell + a_{n-\ell}$ para todo $n\geq N$.

Sea $\mathbb{N}$ el conjunto de los enteros positivos. Determinar todas las funciones $g:\mathbb{N}\to\mathbb{N}$ tales que \[(g(m)+n)(m+g(n))\] es un cuadrado perfecto para todo $m,n\in\mathbb{N}$.