Olimpiadas de Matemáticas
Página de preparación y problemas

Sea $f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}$ una función del conjunto de los números reales en sí mismo que satisface \[f(x + y) \leq yf(x) + f(f(x))\] para todo par de números reales $x, y$. Demostrar que $f(x) = 0$ para todo $x\leq 0$.

Sea $a_1,a_2,a_3,\ldots$ una sucesión de números reales positivos. Sabemos que, para algún entero positivo s, se cumple que \[a_n=\max\{a_k+a_{n-k}:1\leq k\leq n-1\}\] para todo $n\gt s$. Demostrar que existen enteros positivos $\ell$ y $N$, con $\ell\leq s$, tales que $a_n = a_\ell + a_{n-\ell}$ para todo $n\geq N$.

Sea $\mathbb{N}$ el conjunto de los enteros positivos. Determinar todas las funciones $g:\mathbb{N}\to\mathbb{N}$ tales que \[(g(m)+n)(m+g(n))\] es un cuadrado perfecto para todo $m,n\in\mathbb{N}$.

Determinar todas las funciones $f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}$ tales que \[f(\lfloor x\rfloor y)=f(x)\lfloor f(y)\rfloor,\] para todos los números $x,y\in\mathbb{R}$.

Nota. $\lfloor z\rfloor$ denota el mayor entero menor o igual que $z$.

Determinar todas las funciones $f$ del conjunto de los enteros positivos en el conjunto de los enteros positivos tales que, para todos los enteros positivos $a$ y $b$, existe un triángulo no degenerado cuyos lados miden \[a,\quad f(b)\quad\text{y}\quad f(b + f(a) − 1).\]

Nota. Un triángulo es no degenerado si sus vértices no están alineados.