Olimpiadas de Matemáticas
Página de preparación y problemas

Siete elfos se sientan alrededor de una mesa. Cada uno de ellos tiene una taza y todas las tazas contienen un total de $3$ litros de leche. Cada elfo, por turnos, reparte toda su leche a los otros seis a partes iguales y, al final del proceso, todos los elfos tienen la misma cantidad de leche con la que empezaron. Determinar cuánta leche tenía cada elfo al principio.

Sea $\{a_n\}$ una sucesión infinita de números reales tales que \[\lim_{n\to\infty}\left(a_{n+1}-\frac{a_n}{2}\right)=0.\] Demostrar que necesariamente se tiene que $\displaystyle\lim_{n\to\infty}a_n=0$.

Tres personas caminan a velocidad constante por tres calles rectilíneas. Si el instante $t=0$ las tres personas no están alineadas, demostrar que estarán alineadas a lo sumo dos veces para $t\gt 0$.

Sean $a_1$ y $a_2$ enteros positivos menores que $1000$. Definimos \[a_n=\min\{|a_i-a_j|: 0\lt i\lt j\lt n\}.\] Demostrar que $a_{21}=0$.

Se disponen 50 relojes analógicos sobre una mesa, todos ellos en hora sin atrasar ni adelantar. Demostrar que existe un instante en el que la suma de las distancias del centro de la mesa a los centros de la esferas de los relojes es igual a la suma de las distancias del centro de la mesa a las puntas de las manecillas de los minutos.