Olimpiadas de Matemáticas
Página de preparación y problemas

Determinar todas las funciones $f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}$ tales que \[f(\lfloor x\rfloor y)=f(x)\lfloor f(y)\rfloor,\] para todos los números $x,y\in\mathbb{R}$.

Nota. $\lfloor z\rfloor$ denota el mayor entero menor o igual que $z$.

Determinar todas las funciones $f$ del conjunto de los enteros positivos en el conjunto de los enteros positivos tales que, para todos los enteros positivos $a$ y $b$, existe un triángulo no degenerado cuyos lados miden \[a,\quad f(b)\quad\text{y}\quad f(b + f(a) − 1).\]

Nota. Un triángulo es no degenerado si sus vértices no están alineados.

Sea $\{s_1,s_2, s_3,\ldots\}$ una sucesión estrictamente creciente de enteros positivos tal que las subsucesiones \[\{s_{s_1},s_{s_2},s_{s_3},\ldots\}\qquad\text{y}\qquad \{s_{s_1+1},s_{s_2+1},s_{s_3+1},\ldots\}\] son ambas progresiones aritméticas. Demostrar que la sucesión original $\{s_1,s_2, s_3,\ldots\}$ es también una progresión aritmética.

Sea $\mathbb{N}$ el conjunto de lo enteros positivos. De entre todas las funciones $f:\mathbb{N}\to\mathbb{N}$ que cumplen que $f(t^2f(s))=s(f(t))^2$ para todo $s,t\in\mathbb{N}$, hallar el menor valor posible de $f(1998)$.

Sea $S$ el conjunto de los enteros no negativos. Encontrar las funciones $f:S\to S$ tales que \[f(m+f(n))=f(f(m))+n\qquad\text{para todo }m,n\in S.\]