Olimpiadas de Matemáticas
Página de preparación y problemas

Determinar si existe alguna función $f:\mathbb{N}\to\mathbb{N}$ tal que $f(1)=2$, $f(f(n))=f(n)+n$ y $f(n)\lt f(n+1)$ para todo $n\in\mathbb{N}$.

Encontrar todas las funciones $f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}$ tales que \[f(x^2+f(y))=y+(f(x))^2,\] para cualesquiera $x,y\in\mathbb{R}$.

Una sucesión infinita $\{x_0,x_1,x_2,\ldots\}$ de números reales se dice acotada si existe una constante $C$ tal que $|x_i|\leq C$ para todo $i\geq 0$. Dado un número real $a\gt 1$, construir una sucesión infinita acotada $\{x_0,x_1,x_2,\ldots\}$ tal que \[|x_i-x_j|\cdot |i-j|^a\geq 1,\] para todo par de enteros no negativos distintos $i$ y $j$.

Sea $\mathbb{Q}^+$ el conjunto de los números racionales positivos. Construir una función $f:\mathbb{Q}^+\to\mathbb{Q}^+$ que cumpla que \[f(xf(y))=\frac{f(x)}{y}\] para cualesquiera $x,y\in\mathbb{Q}^+$.

Demostrar que no hay ninguna función $f$ definida en los enteros no negativso y con valores enteros no negativos tal que $f(f(n))=n+1987$ para todo $n$.