Olimpiadas de Matemáticas
Página de preparación y problemas

Determinar todas las raíces reales de la ecuación \[x^4-(2\cdot 10^2+1)x^2-x+10^{20}+10^{10}-1=0\] con cuatro cifras decimales significativas.

Determinar si existen soluciones enteras positivas del sistema de ecuaciones \[x_1^2+x_2^2+\ldots+x_{1985}^2=y^3,\qquad x_1^3+x_2^3+\ldots+x_{1985}^3=z^2,\] siendo $x_1,x_2,\ldots,x_{1985}$ enteros distintos.

Consideremos un intervalo abierto de longitud $\frac{1}{n}$ en la recta real, siendo $n$ un entero positivo. Demostrar que el número de fracciones irreducibles $\frac{p}{q}$ con $1\leq q\leq n$ que están en el intervalo dado es a lo sumo $\frac{n+1}{2}$.

Sean $A,B,C,x,y,z$ números reales tales que $A+B+C$ es un múltiplo entero de $\pi$ y \[x\,\mathrm{sen}(A)+y\,\mathrm{sen}(B)+z\,\mathrm{sen}(C)=x^2\,\mathrm{sen}(2A)+y^2\,\mathrm{sen}(2B)+z^2\,\mathrm{sen}(2C)=0.\] Demostrar que, para todo entero positivo $n$, se tiene que \[x^n\,\mathrm{sen}(nA)+y^n\,\mathrm{sen}(nB)+z^n\,\mathrm{sen}(nC)=0.\]

Encontrar el máximo número de ternas de números en progresión aritmética que puede contener una sucesión de $n$ números reales distintos.