Olimpiadas de Matemáticas
Página de preparación y problemas

Una sucesión $\{a_n\}$ de números reales está definida por $a_0=1$, $a_1=2015$ y, para todo entero $n\geq 1$, como \[a_{n+1}=\frac{n-1}{n+1}a_n-\frac{n-2}{n^2+n}a_{n-1}.\] Calcular el valor de \[\frac{a_1}{a_2}-\frac{a_2}{a_3}+\frac{a_3}{a_4}-\frac{a_4}{a_5}+\ldots+\frac{a_{2013}}{a_{2014}}-\frac{a_{2014}}{a_{2015}}.\]

Sean $x$ e $y$ números reales tales que los tres números \[x-y,\quad x^2-y^2,\quad x^3-y^3\] son positivos y números primos. Demostrar que $x-y=3$.

Los números reales positivos $x,y,z$ son tales que \[x+\frac{y}{z}=y+\frac{z}{x}=z+\frac{x}{y}=2.\] Determinar todos los valores posibles de $x+y+z$.

Encontrar razonadamente todos los números reales $0\leq x\leq\frac{\pi}{2}$ tales que \[(2-\mathrm{sen}(2x))\mathrm{sen}(x+\tfrac{\pi}{4})=1.\]

Encontrar todos los números reales $x$ tales que \[\lfloor x^3\rfloor=4x+3,\]

Nota. $\lfloor z\rfloor$ denota la parte entera de un número real $z$.