Olimpiadas de Matemáticas
Página de preparación y problemas

Encontrar todas las funciones $f$ definidas en los reales no negativos y que toman valores en los reales no negativos tales que

• $f(xf(y))f(y)=f(x+y)$ para todo $x,y\geq 0$,
• $f(2)=0$,
• $f(x)\neq 0$ para $0\leq x\lt 2$.

Para cada número real $x_1$ podemos definir una sucesión infinita $\{x_n\}$ mediante \[x_{n+1}=x_n\Bigl(x_n+\frac{1}{n}\Bigr)\qquad\text{para todo }n\geq 1.\] Demostrar que existe una única elección posible de $x_1$ para la que se cumple que $0\lt x_n\lt x_{n+1}\lt 1$ para todo $n$.

Encontrar todas las funciones $f(x)$ definidas en los reales positivos y que toman valores reales positivos que cumplen las siguientes dos condiciones:

• $f(xf(y))=yf(x)$ para todo $x,y\gt 0$,
• $\displaystyle\lim_{x\to+\infty}f(x)=0$.

Una función $f(n)$ está definida en los enteros no negativos y toma valores enteros no negativos. También cumple las siguientes propiedades:

• $f(m+n)-f(m)-f(n)$ es igual a $0$ o a $1$ para cualesquiera enteros $m,n\geq 0$.
• $f(2)=0$, $f(3)\gt 0$ y $f(9999)=3333$.

Hallar $f(1982)$.

Una función de dos variables $f(x,y)$ sobre los enteros no negativos cumple que

• $f(0,y)=y+1$,
• $f(x+1,0)=f(x,1)$,
• $f(x+1,y+1)=f(x,f(x+1,y))$,

para cualesquiera enteros $x,y\geq 0$. Hallar $f(4,1981)$.