Olimpiadas de Matemáticas
Página de preparación y problemas

Se tienen $n\geq 3$ números reales positivos $a_1,a_2,\ldots,a_n$. Para cada $1\leq i\leq n$ se define \[b_i=\frac{a_{i−1}+a_{i+1}}{a_i},\] donde $a_0 = a_n$ y $a_{n+1} = a_1$. Supongamos que para cada $1\leq i\leq n$ y cada $1\leq j\leq n$ se tiene que $a_i\leq a_j$ si y sólo si $b_i\leq b_j$. Demostrar que $a_1 = a_2 =\ldots= a_n$.

Para cada entero $n\geq 2$, determinar el mayor entero positivo $N$ con la propiedad de que existen $N+1$ números reales $a_0, a_1,\geq, a_N$ verificando las siguientes dos condiciones:

• $a_0+a_1 =-\frac{1}{n}$;
• $(a_k+a_{k−1})(a_k+a_{k+1}) = a_{k−1}-a_{k+1}$ para todo $1\leq k\leq N-1$.

Sea $\mathbb{N}=\{1,2,3,\ldots\}$ el conjunto de los enteros positivos. Hallar todas las funciones $f:\mathbb{N}\to\mathbb{N}$ tales que para cualquier pareja de enteros positivos $a$ y $b$, se cumplen las siguientes dos condiciones:

• $f(ab) = f(a)f(b)$;
• al menos dos de los números $f(a)$, $f(b)$ y $f(a+b)$ son iguales.

Encontrar todas las funciones $f:\mathbb{Q}\to\mathbb{Q}$ tales que la ecuación \[f(x\,f(x)+y)=f(y)+x^2\] se cumple para todos los números racionales $x$ e $y$.

Determinar si existe una sucesión infinita $\{a_1,a_2,a_3,\ldots\}$ de enteros positivos que satisface la igualdad \[a_{n+2} = a_{n+1} + \sqrt{a_{n+1}+a_n}\] para todo entero positivo $n$.