Olimpiadas de Matemáticas
Página de preparación y problemas

El conjunto de los enteros positivos se exprsa como la unión de dos subconjuntos infinitos disjuntos $\{f(1),f(2),\ldots,f(n),\ldots\}$ y $\{g(1),g(2),\ldots,g(n),\ldots\}$, de forma que $f(n)$ y $g(n)$ son funciones estrictamente crecientes y cumplen que $g(n)=f(f(n))+1$ para todo $n\geq 1$. Hallar $f(240)$.

Sea $f:\mathbb{N}\to\mathbb{N}$ una función definida en los enteros positivos, que cumple \[f(n+1)\gt f(f(n))\quad\text{para todo }n\in\mathbb{N}.\] Demostrar que $f(n)=n$ para todo $n\in\mathbb{N}$.

En una sucesión finita de números reales, la suma de siete términos consecutivos cualesquiera es negativa y la suma de once términos consecutivos cualesquiera es positiva. Hallar el máximo número de términos que puede tener dicha sucesión.

Definimos una sucesión $\{u_n\}$ como \[u_0=2,\quad u_1=\tfrac{5}{2},\quad u_{n+1}=u_n(u_{n-1}^2-2)-u_1\quad (n\geq 1).\] Demostrar que para todo entero positivo $n$ se cumple que \[\lfloor u_n\rfloor=2^{(2^n-(-1)^n)/3},\] donde $\lfloor x\rfloor$ denota la función parte entera.

Sea $G$ un conjunto de funciones no constantes de la forma $f(x)=ax+b$ (siendo $a$ y $b$ números reales) con las siguientes propiedades:

• Si $f$ y $g$ están en $G$, entonces $g\circ f$ está en $G$.
• Si $f(x)=ax+b$ está en $G$, entonces su inversa $f^{-1}(x)=(x-b)/a$ también está en $G$.
• Para cada $f$ en $G$, hexiste algún número real $x_f$ tal que $f(x_f)=x_f$.

Demostrar que existe un número real $k$ tal que $f(k)=k$ para todo $f$ en $G$.