Olimpiadas de Matemáticas
Página de preparación y problemas

Determinar todas las funciones $f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}$ que satisfacen la siguiente condición: \[f(y^2+2xf(y)+f(x)^2)=(y+f(x))(x+f(y))\] para cualesquiera números reales $x$ e $y$.

Determinar todas las funciones $f:\mathbb{Z}\to\mathbb{Z}$ tales que, para todos los enteros $a$ y $b$, \[f(2a) + 2f(b) = f(f(a + b)).\]

Sea $\{a_1, a_2,\ldots\}$ una sucesión infinita de enteros positivos. Supongamos que existe un entero $N\gt 1$ tal que para cada $n\geq N$ el número \[\frac{a_1}{a_2}+\frac{a_2}{a_3}+\ldots+\frac{a_{n-1}}{a_n}+\frac{a_n}{a_1}\] es entero. Demostrar que existe un entero positivo $M$ tal que $a_m = a_{m+1}$ para todo $m\geq M$.

Hallar todos los enteros $n\geq 3$ para los que existen números reales $a_1, a_2,\ldots,a_{n+2}$ tales que $a_{n+1}=a_1$ y $a_{n+2} = a_2$ y \[a_ia_{i+1} + 1 = a_{i+2}\] para todo $i=1,2,\ldots,n$.

Determinar todas las funciones $f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}$ tales que, para cualesquiera números reales $x$ e $y$, se cumple que \[f(f(x)f(y))+f(x+y)=f(xy).\]