Olimpiadas de Matemáticas
Página de preparación y problemas

Definimos una sucesión $\{u_n\}$ como \[u_0=2,\quad u_1=\tfrac{5}{2},\quad u_{n+1}=u_n(u_{n-1}^2-2)-u_1\quad (n\geq 1).\] Demostrar que para todo entero positivo $n$ se cumple que \[\lfloor u_n\rfloor=2^{(2^n-(-1)^n)/3},\] donde $\lfloor x\rfloor$ denota la función parte entera.

Sea $G$ un conjunto de funciones no constantes de la forma $f(x)=ax+b$ (siendo $a$ y $b$ números reales) con las siguientes propiedades:

• Si $f$ y $g$ están en $G$, entonces $g\circ f$ está en $G$.
• Si $f(x)=ax+b$ está en $G$, entonces su inversa $f^{-1}(x)=(x-b)/a$ también está en $G$.
• Para cada $f$ en $G$, hexiste algún número real $x_f$ tal que $f(x_f)=x_f$.

Demostrar que existe un número real $k$ tal que $f(k)=k$ para todo $f$ en $G$.

Se tiene un punto $O$ sobre una recta $g$ y se consideran vectores unitarios $\overrightarrow{OP_1},\overrightarrow{OP_2},\ldots,\overrightarrow{OP_n}$ tales que los puntos $P_1,\ldots,P_n$ están en un plano que contiene a $g$ y en el mismo semiplano respecto de $g$. Demostrar que si $n$ es impar, entonces \[\Bigl|\overrightarrow{OP_1}+\overrightarrow{OP_2}+\ldots,\overrightarrow{OP_n}\Bigr|\geq 1.\]

Sean $f,g:\mathbb{R}\to\mathbb{R}$ funciones definidas en todos los reales y con valores reales que cumplen la ecuación \[f(x+y)+f(x-y)=2f(x)g(y)\] para cualesquiera $x,y\in\mathbb{R}$. Demostrar que, si $f(x)$ no es idénticamente nula y cumple $|f(x)|\leq 1$ para todo $x\in\mathbb{R}$, entonces $|g(y)|\leq 1$ para todo $y\in\mathbb{R}$.

Sea $A=(a_{ij})$ una matriz cuadrada ($1\leq i,j\leq n$) cuyos elementos son enteros no negativos. Supongamos que siempre que un elemento es cero, la suma de los elementos de su fila y su columna es mayor o igual que $n$. Demostrar que la suma de todos los elementos de la matriz es mayor o igual que $n^2/2$.