Olimpiadas de Matemáticas
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Solución. Si denotamos por $\{a_1,\ldots,a_{100}\}$ a los términos de la sucesión, entonces podemos escribir $a_k=a_1+(k-1)d$ donde $d$ es la diferencia de la progresión aritmética. Las condición sobre la suma de los términos se traduce en \begin{align*} -1=a_1+a_2+\ldots+a_{100}&=a_1^2+(a_1+d)+\ldots+(a_1+99d)\\ &=100a_1+(1+2+\ldots+99)d=100a_1+4950d \end{align*} y la condición sobre suma de los términos pares se traduce en \begin{align*} 1=a_2+a_4+\ldots+a_{100}&=(a_1+d)+(a_1+3d)+\ldots+(a_1+99d)\\ &=50a_1+(1+3+\ldots+99)d=50a_1+2500d. \end{align*} Tenemos así un sistema de ecuaciones lineales con incógnitas $a_1$ y $d$, que tiene por solución única $d=\frac{3}{50}$ y $a_1=\frac{-149}{50}$. Vamos a usar esto para calcular la suma de los cuadrados: \begin{align*} a_1^2+a_2^2+\ldots+a_{100}^2&=a_1^2+(a_1+d)^2+\ldots+(a_1+99d)^2\\ &=100a_1^2+2(1+2+\ldots+99)a_1d+(1^2+2^2+\ldots+99^2)d^2\\ &=100a_1^2+9900a_1d+328350=\frac{14999}{50}. \end{align*}

Nota. En los cálculos anteriores, hemos usado las fórmulas conocidas para la suma de los $n$ primeros naturales, impares y cuadrados: \[1+2+\ldots+n=\frac{n(n+1)}{2},\qquad 1+3+\ldots+(2n-1)=n^2,\] \[1^2+2^2+\ldots+n^2=\frac{n(n+1)(2n+1)}{6}.\]