Olimpiadas de Matemáticas
Página de preparación y problemas

Solución. Sean $D$, $M$ y $F$ los pies de las bisectriz por $A$, la mediana por $B$ y la altura por $C$, respectivamente. También llamaremos $a,b,c$ a los lados del triángulo, como es habitual. En el triángulo $ABM$, la recta $AP$ es simultáneamente bisectriz y altura, luego este triángulo es isósceles. De aquí que $b=AC=2AM=2AB=2$ y ya tenemos uno de los lados calculado.

Para hallar $BC$, utilizaremos el teorema de Ceva, que nos dice que como las tres rectas son concurrentes ha de cumplirse que \[\frac{AE}{EB}\cdot\frac{BD}{DC}\cdot\frac{CM}{MA}=1.\] Tenemos que $\frac{CM}{MA}=1$ por ser $M$ el punto medio de $AC$ y que $\frac{BD}{DC}=\frac{b}{c}$ por el teorema de la bisectriz. Además, $AE$ y $EB$ verifican $b^2-AE^2=a^2-BE^2$ por el teorema de Pitágoras y se cumple que $AE+EB=c$, de donde puede despejarse \[AE=\frac{-a^2+b^2+c^2}{2c},\qquad EB=\frac{a^2-b^2+c^2}{2c}.\] Por lo tanto, en el teorema de Ceva nos queda \[\frac{c(b^2+c^2-a^2)}{b(a^2+c^2-b^2)}=1\ \Leftrightarrow\ 3a^2=11\ \Leftrightarrow a=\frac{\sqrt{33}}{3}.\] Tenemos así que los lados que nos piden son $BC=\frac{\sqrt{33}}{3}$ y $CA=2$.