Olimpiadas de Matemáticas
Página de preparación y problemas

Solución. Veamos lo que ocurre con los primeros socios, para entender la regla general:

• El primer socio paga $1$ según el enunciado
• El segundo socio le tiene que pagar al primero $2$.
• El tercer socio le tiene que pagar el primer socio $2$ y al segundo $3$.
• El cuarto socio le tiene que pagar al primero $2$, al segundo $3$ y al tercero $6$.
• El quinto socio le paga al primero $2$, al segundo $3$, al tercero $6$ y al cuarto $12$.

Si ponemos que $a_k$ es lo que paga el socio $k$-ésimo, entonces el $n$-ésimo pagará \begin{align*} a_n&=a_1+a_2+\ldots+a_{n-1}+(n-1)\\ &=2a_1+2a_2+\ldots+2a_{n-2}+(n-2)+(n-1)\\ &=4a_1+4a_2+\ldots+4a_{n-3}+2(n-3)+(n-2)+(n-1)\\ &=\ldots\\ &=2^{n-2}a_1+2^{n-3}\cdot 1+2^{n-4}\cdot 2+\ldots+2^1(n-3)+2^0(n-2)+(n-1) \\ &=2^{n-2}+n-1+[2^{n-3}\cdot 1+2^{n-4}\cdot 2+2^{n-5}\cdot 3+\ldots+2^1(n-3)+2^0(n-2)]. \end{align*} La suma entre corchetes es aritmético-geométrica y puede obtenerse el resultado multiplicando por $2$ su expresión para aumentar cada exponente en una unidad y después restar la expresión original. Para $n\geq 2$, tenemos entonces que \begin{align*} a_n=2a_n-a_n&=2^{n-1}+2(n-1)+[2^{n-2}\cdot 1+2^{n-3}\cdot 2+2^{n-4}\cdot 3+\ldots+2^2(n-3)+2^1(n-2)]\\ &\qquad -2^{n-2}-(n-1)-[2^{n-3}\cdot 1+2^{n-4}\cdot 2+2^{n-5}\cdot 3+\ldots+2^1(n-3)+2^0(n-2)]\\ &=2^{n-2}+n-1+[2^{n-2}+2^{n-3}+2^{n-4}+\ldots+2^2+2^1]-(n-2)\\ &=2^{n-2}+2^{n-2}+2^{n-1}+2^{n-2}+\ldots+2^2+2^1+1=3\cdot 2^{n-2}-1, \end{align*} luego el $n$-ésimo socio ($n\geq 2$) ha de abonar un total de $3\cdot 2^{n-2}-1$ euros.