Olimpiadas de Matemáticas
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Solución. Los triángulos $OPX$ y $OP'X$ son semejantes porque son rectángulos y tienen un ángulo en común en $X$ (opuesto por el vértice). La razón de semejanza es la razón de los radios, luego si escribimos $A$ para el área de $OPX$, entonces $4A$ es el área de $O'P'X$. Por el teorema de Pitágoras, se tiene fácilmente que $O'P=2\sqrt{2}$ y $OP'=\sqrt{5}$, luego los triángulos rectángulos $OPO'$ y $OP'O'$ tienen áreas $\sqrt{2}$ y $\sqrt{5}$, respectivamente. Si llamamos $S$ al área del triángulo $OXO'$ que estamos buscando, esto nos da \begin{align*} \text{Area}(OXO')+\text{Área}(OPX)=\text{Área}(OPO')&\ \Leftrightarrow\ S+A=\sqrt{2},\\ \text{Area}(OXO')+\text{Área}(O'P'X)=\text{Área}(OP'O')&\ \Leftrightarrow\ S+4A=\sqrt{5}, \end{align*} de donde resolvemos \[S=\frac{4\sqrt{2}-\sqrt{5}}{3}.\]