Olimpiadas de Matemáticas
Página de preparación y problemas

Solución. Da igual cambiar rojo por azul, así que supondremos que el $1$ está pintado de rojo. También supondremos que tenemos una coloración sin soluciones monocromáticas para obtener información. Entonces, se tiene que necesariamente $16=8(1+1)$ tiene que estar pintado de azul y $256=8(16+16)$ tiene que estar pintado de rojo. Si pintamos los números del $1$ al $15$ de rojo, los números del $16$ al $255$ de azul y los del $256$ al $2017$ de rojo, es fácil ver que no tenemos soluciones monocromáticas: por un lado, al sumar dos números rojos y multiplicar por $8$ caemos bien en el intervalo azul o bien obtenemos un resultado mayor que $2017$; por otro lado, si sumamos dos números azules y multiplicamos por $8$, obtenemos un resultado mayor o igual que $256$ que, bien es rojo o bien se pasa de $2017$.

En cuanto a la segunda, comenzamos dándonos cuenta de que el truco anterior funciona realmente para $n=2055$, pues basta pintar los números entre $2018$ y $2055$ también de rojo. El siguiente número que podemos asegurar que tiene que estar pintado de azul es $8(256+1)=2056$. Por lo tanto, supondremos que $n=2056$ y llegaremos a una contradicción si no hay soluciones monocromáticas. Esto nos dirá que $2055$ es la solución al problema.

En la igualdad $8(16+16)=8(31+1)$, el resultado tiene que ser rojo ya que $16$ es azul, con lo que $31$ tiene que estar pintado de rojo ya que $1$ es rojo. Un razonamiento similar en $8(31+16)=8(46+1)$ nos dice que $46$ está pintado de azul. Realmente, podemos reiterar este proceso para probar que $16+15k$ está pintado de azul para todo $k\geq 0$. Ahora bien, en realidad sólo podemos llegar hasta un valor de $k$ tal que $8(16+15k+1)\leq 2056$ para que el resultado de la operación no se salga del rango de números entre $1$ y $n$. En otras palabras, todos los números $16+15k$ con $k\leq 16$ tienen que estar pintados de azul. Para $k=16$ obtenemos que $256$ es azul, en contradicción con el hecho de que habíamos demostrado que $256$ tiene que ser rojo.