Olimpiadas de Matemáticas
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Solución. En el conjunto $A=(-\infty,1)\cup(1,+\infty)=\{x\in\mathbb{R}:|x|\gt 1\}$ no puede haber más de una raíz. Para probarlo, como todo polinomio tiene un número finito de raíces, habría una raíz $r$ con valor absoluto mayor o igual que el resto de raíces en $A$; si ahora $s$ es otra raíz, entonces $sr$ también es raíz según el enunciado y tiene valor absoluto $|sr|=|s|\cdot |r|\gt |r|$, contradiciendo que $r$ tiene el valor absoluto máximo. De la misma forma, se prueba que en el conjunto $B=(-1,0)\cup(0,1)=\{x\in\mathbb{R}:0\lt|x|\lt 1\}$ hay una única solución (en este caso, sólo hay que considerar la de valor absoluto mínimo).

Hemos visto así que hay un máximo de $5$ raíces: una en $A$, otra en $B$ y las otras tres serían $-1$, $0$ y $1$, los tres puntos que no están ni en $A$ ni en $B$. Sin embargo, no pueden ser las raíces a la vez ya que si $-1$ fuera una raíz y hubiera otra raíz $\alpha\in A$, entonces $-\alpha=(-1)\alpha\in A$ sería una raíz distinta en $A$. Deducimos, por tanto, que hay un máximo de $4$ raíces. Un ejemplo que prueba que $4$ es el máximo posible es el polinomio: \[p(x)=x(x-1)(x-2)(x-\tfrac{1}{2}).\]