Olimpiadas de Matemáticas
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Solución. La idea es que los números $a,b,c$ tienen que ser pequeños porque en caso de ser grandes la suma de la izquierda será menor que $1$. La expresión es simétrica en las tres variables, luego asumiremos que $a\geq b\geq c$ sin perder generalidad. Supongamos en primer lugar que $a\geq 4$. Si además se tiene que $b\geq 2$, entonces podemos acotar \[\frac{1}{a+b}+\frac{1}{b+c}+\frac{1}{a+c}+\frac{1}{a+b+c-2}\leq\frac{1}{6}+\frac{1}{3}+\frac{1}{5}+\frac{1}{5}=\frac{9}{10}\lt 1.\] Por lo tanto, tiene que ser $b=1$ y esto nos lleva a que $c=1$. La ecuación original para $b=c=1$ se puede reescribir como $a^2-5a-2=0$, que no tiene soluciones enteras.

Lo anterior prueba que $c\leq b\leq a\leq 3$, lo que nos da sólo unas pocas posibilidades para la terna $(a,b,c)$ con $a=3$. Estas son $(3,3,3)$, $(3,3,2)$, $(3,3,1)$, $(3,2,2)$, $(3,2,1)$ y $(3,1,1)$ y se puede probar una por una que no cumplen la ecuación original. Para $a=2$ tenemos las ternas $(2,2,2)$, $(2,2,1)$ y $(2,1,1)$, de las cuales únicamente $(2,2,2)$ verifica la ecuación. Finalmente, la terna $(1,1,1)$ es la única con $a=1$ y no verifica la ecuación.

Por lo tanto, la única solución de la ecuación dada es $a=b=c=2$.

Nota. En realidad se puede refinar un poco el argumento final para no tener que probar explícitamente las diez ternas con $a\leq 3$, pero seguramente es más rápido en una olimpiada probar una por una que invertir tiempo en dar un argumento que elimine algunas de ellas.