Olimpiadas de Matemáticas
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Solución. Vamos a adaptar la demostración clásica de Euclides de que hay infinitos primos al caso de primos de la forma $3k+2$. Supongamos por reducción al absurdo que hay un número finito de tales primos y estos son $p_1,p_2,\ldots,p_r$. Distinguimos dos casos:

• Si $r$ es par, entonces el producto $p_1p_2\cdots p_r$ es congruente con $2^r\equiv 1\ (\text{mod }3)$ y consideraremos el número \[N=p_1p_2\cdots p_r+1\equiv 2\ (\text{mod }3).\] Este número no es múltiplo de $3$ ni puede tener todos sus factores congruentes con $1$ módulo $3$ (¿por qué?), luego tiene necesariamente algún factor congruente con $2$, es decir, $N$ tiene que ser divisible por alguno de los números $p_1,p_2,\ldots,p_r$, pero esto es una contradicción ya que $N$ es un múltiplo de cualquiera de ellos más una unidad.
• Si $r$ es impar, entonces $p_1p_2\cdots p_r$ es congruente con $2^r\equiv 2\ (\text{mod }3)$ y tomaremos \[N=p_1p_2\cdots p_r+3\equiv 2\ (\text{mod }3).\] De nuevo, este número ni es múltiplo de $3$ ni puede tener todos sus factores primos congruentes con $1$ módulo $3$, luego tiene algún factor primo $p_i$ de entre los números $p_1,p_2,\ldots,p_r$. En consecuencia, $p_i$ tiene que dividir a $3$, pero esto es una contradicción ya que nos diría que $p_i=3$ pero $N$ no es múltiplo de $3$.