Olimpiadas de Matemáticas
Página de preparación y problemas

Solución. La primera observación es que aplicar $m+1$ veces $f$ puede hacerse como $f\circ f^m$ o $f^m\circ f$. Ambas formas nos dan el mismo resultado, luego se cumple que \[f(n+2017)=f(f^m(n))=f^m(f(n))=f(n)+2017.\] En particular, sólo es necesario conocer $f(1),f(2),\ldots,f(2017)$ para conocer completamente la función $f$ y también se tiene que el resto de $f(n)$ módulo $2017$ sólo depende del resto de $n$ módulo $2017$. Como $f^m(n)=n+2017$, la función toma en su imagen todos los restos posibles y deducimos que la función $\theta(n)=f(n)\,\pmod{2017}$ es una biyección del conjunto $\{0,1,\ldots,2016\}$ en sí mismo.

Fijemos $n\in\{0,\ldots,2016\}$. La sucesión de restos $\{n,\theta(n),\theta^2(n),\theta^3(n),\ldots\}$ toma un número finito de valores y cada valor sólo depende del anterior, luego tiene que ser periódica. Como $\theta$ es una biyección, existirá un primer exponente $k\geq 1$ tal que $\theta^k(n)=n$, es decir, $f^k(n)$ es el primer elemento de la sucesión $\{f(n),f^2(n),f^3(n),\ldots\}$ que es congruente con $n$ módulo $2017$ y, por tanto, $f^k(n)=n+2017a$ para cierto $a\in\Z$. Entonces, tenemos que los únicos números de dicha sucesión que son congruentes con $n$ son los de la forma $f^{ck}(n)$, pero podemos calcularlos usando $(\star)$ recursivamente como \[f^{ck}(n)=f^k(f^k(\ldots(f^k(n))\ldots))=n+2017ca.\] Por lo tanto, el número $m$ que buscamos tiene que ser múltiplo de $k$ y tiene que ser $ca=1$, es decir $c=a=1$, luego no puede ser otro que $k=m$.

Con todo esto, se tiene que para cada $n$ hay exactamente $m$ restos de $\{0,1,\ldots,2016\}$ que aparecen periódicamente en la sucesión $\{n,\theta(n),\theta^2(n),\theta^3(n),\ldots\}$. Para distintos valores de $m$, estos restos son distintos, luego $2017$ tiene que poder partirse en subconjuntos de $m$ elementos y, en particular, $2017$ ser múltiplo de $m$. Como $2017$ es primo, no quedan más opciones que $m=1$ y $m=2017$. Comprobamos efectivamente que estos valores cumplen la condición, pues basta tomar $f(n)=n+2017$ si $m=1$ o bien $f(n)=n+1$ si $m=2017$.