Olimpiadas de Matemáticas
Página de preparación y problemas

Solución. Supongamos que $n$ y $m$ son números que cumplen las dos condiciones del enunciado. Entonces, para cada par de dígitos $a$ y $b$ de $m$, formamos números $M_1$ y $M_2$ cuyos dígitos son reordenación de los dígitos de $m$, de forma que $M_1$ tiene $a$ decenas y $b$ unidades, $M_2$ tiene $b$ decenas y $a$ unidades, y el resto de dígitos de $M_1$ y $M_2$ coinciden. El número $n$ es divisor de $M_1$ y $M_2$, luego también lo es de $M_1-M_2=(10a+b)-(10b+a)=9(a-b)$. Resumiendo, $n$ tiene que ser un divisor de $9(a-b)$ para cualesquiera dos dígitos $a$ y $b$ de $m$. Además, $|a-b|\leq 8$, luego $n$ tiene que ser un divisor de $2^3\cdot 3^2\cdot 5\cdot 7$.

Si $n$ tuviera algún factor $7$, entonces cualesquiera dos dígitos de $m$ tienen que diferir en $7$ unidades, luego no queda otra más opción que $m$ tenga dos dígitos y sea igual a $18,29,81,92$, pero ninguno de estos números es múltiplo de $7$. Deducimos que $n$ no es múltiplo de $7$ y, de forma análoga, se demuestra que no es múltiplo de $5$ ni de $8$, lo que nos deja con que $n$ tiene que ser divisor de $2^2\cdot 3^2=36$.

Si $n=18$, entonces podemos tomar $m=864$. Cualquier reordenación de los dígitos de $m$ es par y múltiplo de $9$ (la suma de las cifras es $18$, múltiplo de $9$). Si $n=12$, entonces podemos tomar $m=84$ y tanto $84=7\cdot 12$ como $48=4\cdot 12$ son múltiplos de $n$. Notemos además que $m=864$ sirve para cualquier $n$ divisor de $18$ y $m=84$ sirve para cualquier $n$ divisor de $12$. El único que nos queda por dilucidar es $n=36$. En tal caso, cualquier par de dígitos de $m$ debería diferenciarse en un múltiplo de $4$ y ser ambos pares, lo que nos da $26,48,84,62$ como posibles valores de $m$ de dos dígitos y no hay valores de $m$ de tres o más dígitos con esta propiedad. Ninguno de los anteriores es múltiplo de $36$, luego la propiedad es falsa para $n=36$.

La solución al problema son los números $1,2,3,4,6,9,12,18$.