Olimpiadas de Matemáticas
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Solución. Usaremos la relación $DM=ab$ para escribir \begin{align*} D^2+M^2-a^2-b^2&=D^2-\frac{a^2b^2}{D^2}-a^2-b^2\\ &=\frac{D^4+a^2b^2-a^2D^2-b^2D^2}{D^2}\\ &=\frac{(a^2-D^2)(b^2-D^2)}{D^2}\geq 0. \end{align*} Aquí hemos usado que cualquier número es mayor o igual que un divisor suyo (en este caso, el máximo común divisor $D$ con el otro número). De la desigualdad anterior se deduce claramente la del enunciado.

Nota. La igualdad se alcanza sólo cuando $a=D$ o $b=D$, es decir, cuando $b$ es un múltiplo de $a$ o $a$ es un múltiplo de $b$.