Olimpiadas de Matemáticas
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Solución. Aplicando la ecuación funcional, obtenemos que \[f(x+f(x+f(x+y)))=f(2x)+f(x+y).\] También podemos aplicar la ecuación funcional dos veces para desarrollar la misma expresión de un modo distinto: \begin{align*} f(x+f(x+f(x+y)))&=f(x+y+f(2x))\\ &=f(x+y+f((x+y)+(x-y)))=f(2x+2y)+x-y. \end{align*} Ahora bien, igualando ambos tenemos que \[f(2x)+f(x+y)=f(2x+2y)+x-y,\] para cualesquiera $x,y\in\mathbb{R}$. Haciendo $y=-x$, obtenemos que $f(2x)=2x$ para todo $x\in\mathbb{R}$, luego la única posible candidata a solución es la la función identidad $f(x)=x$. Se comprueba fácilmente que cumple la ecuación del enunciado, luego es realmente la única solución.