Olimpiadas de Matemáticas
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Solución. Demostraremos que el número es múltiplo de $a$ (el mismo argumento también prueba que es múltiplo de $b$ y de $c$). Como $(ab)^{c-1}$ y $(ca)^{b-1}$ son múltiplos de $a$ ya que los exponentes son enteros positivos, tendremos que ver que $(bc)^{a-1}-1$ es múltiplo de $a$. Ahora bien, como los tres primos son distintos, se cumple obviamente que $\mathrm{mcd}(bc,a)=1$ y el teorema pequeño de Fermat nos asegura que $(bc)^{a-1}\equiv 1\ (\text{mod }a)$, lo cual equivale a que $(bc)^{a-1}-1$ es múltiplo de $a$ y así hemos terminado.