Olimpiadas de Matemáticas
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Problema 1052
Se han coloreado 46 cuadrados unitarios de una cuadrícula $9\times 9$. ¿Hay necesariamente en la cuadrícula tres casillas con la forma de la de la figura (no necesariamente con la misma orientación) que estén coloreadas?
pistasolución 1info
Pista. Observa que en cada cuadrado $2\times 2$, si se pintan $3$ o más de sus casillas, tendremos necesariamente tres pintadas con la forma de la figura. Rellena creativamente con cuadrados $2\times 2$ y razona qué pasa con el resto de casillas.
Solución. Señalamos $16$ cuadrados $2\times 2$ como indica la figura, que cubren un total de $64$ casillas. Si pintamos $33$ o más de ellas, por el principio del palomar, en alguno de los $16$ cuadrados tendremos que haber pintado más de dos casillas, luego hemos pintado una figura con la forma de la del enunciado. Supondremos entonces que hemos pintado un máximo $32$ de dichas $64$ casillas. En otras palabras, habremos pintado al menos $14$ de las $17$ casillas restantes, es decir, habremos dejado sin pintar a lo sumo $3$ de ellas. Por lo tanto, alguna de las cuatro figuras moradas debe estar pintada completamente.
Nota. El número $46$ es óptimo ya que sí que se pueden pintar $45$ casillas de forma que no haya tres casillas pintadas en forma de L. Por ejemplo, se pueden pintar las filas impares o bien las columnas impares. ¿Sabrías probar que estas son las únicas formas de pintar $45$ casillas para que no haya tres pintadas en forma de L?
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