Olimpiadas de Matemáticas
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La base de datos contiene 2434 problemas y 940 soluciones.
Problema 106
OIM, 1987-P1
Hallar las funciones $f:\mathbb{R}-\{-1,0,1\}\to\mathbb{R}$ que cumplen la ecuación
\[f(x)^2\cdot f\left(\frac{1-x}{1+x}\right)=64x\]
para cualquier $x\in\mathbb{R}-\{-1,0,1\}$.
pistasolución 1info
Pista. ¿Qué ocurre si cambiamos $x$ por $\frac{1-x}{1+x}$? Prueba a hacer los cálculos.
Solución. Consideremos la función auxiliar
\[\varphi:\mathbb{R}-\{-1,0,1\}\to\mathbb{R}-\{-1,0,1\},\qquad\varphi(x)=\frac{1-x}{1+x},\]
que cumple que $\varphi(\varphi(x))=x$.
La ecuación inicial se puede escribir como $f(x)^2f(\varphi(x))=64x$. Si sustituimos $x$ por $\varphi(x)$, obtenemos que $f(\varphi(x))^2\cdot f(x)=64\varphi(x)$, con lo cual tenemos el sistema \[\left\{\begin{array}{l}f(x)^2f(\varphi(x))=64x,\\f(\varphi(x))^2 f(x)=64\varphi(x).\end{array}\right.\] Elevando la primera igualdad al cuadrado y dividiéndola por la segunda (que no se anula ya que $x\neq\pm 1$, luego $\varphi(x)\neq 0$) llegamos a que $f(x)^3=64\frac{x^2}{\varphi(x)}$, de donde podemos despejar \[f(x)=\sqrt[3]{\frac{64x^2}{\varphi(x)}}=4\sqrt[3]{\frac{x^2(1+x)}{1-x}}.\] Puede comprobarse que esta función está bien definida para $x\neq-1$ y satisface la igualdad del enunciado, luego es la única solución al problema.
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